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Grenzwerte [1]

[626] Grenzwerte. Unter Grenze versteht man den Abschluß einer ins Unendliche fortschreitenden Vorstellungsreihe durch eine neu hinzugedachte Vorstellung.

In diesem Sinne ist ¹/₃ der Grenzwert, welchem die Reihe der Brüche 0,3, 0,33, 0,333, 0,3333 ... sich immer mehr annähert. Man schreibt daher geradezu lim 0,3333 ... = ¹/₃. Dabei wird die Differenz zwischen dem n ten Wert der Reihe und dem Grenzwert mit zunehmendem n immer kleiner, zuletzt unendlich klein; sie kann ferner immer positiv oder immer negativ oder endlich bald positiv, bald negativ sein. Wenn man den Wert einer Funktion f (x) für einen Wert x₀ des Argumentes x nicht unmittelbar angeben kann (z.B. nimmt sin x/x für x = 0 die unbestimmte Form % an), so bezeichnet man als Grenzwert der Funktion für den Argumentwert x₀ den Wert

welchem sich f (x₀ + ε) bei immer kleiner werdenden e annähert (im obigen Beispiel

Ein wichtiges Beispiel ist ferner

Literatur: [1] Vogt, Der Grenzbegriff in der Elementarmathematik, Breslau 1885. – [2] Kerry, System einer Theorie der Grenzbegriffe, Bd. 1, Wien 1890. – [3] Dubois-Reymond, P., Die allgemeine Funktionentheorie, Bd. 1, Tübingen 1882.

Wölffing.