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Thetafunktionen

[542] Thetafunktionen (Jacobische Funktionen), einfach periodische Funktionen, welche in der Theorie der doppelperiodischen oder elliptischen Funktionen eine große Rolle spielen.

Man unterscheidet vier Thetafunktionen ϑ₀ (w), ϑ₁ (w), ϑ₂ (w), ϑ₃ (w), welche aus der allgemeinen Funktion:

durch Spezialwerte von ε und ε' hervorgehen. Es ist nämlich ϑ₀ (w) = ϑ (w; 0, –1); ϑ₁ (w) = ϑ (w; 1, –1); ϑ₂ (w) = ϑ (w; 1,0); ϑ₃ (w) = ϑ (w; 0,0). Die Thetafunktionen haben bezw. die Perioden 2K, 4K, 4K, 2K. ϑ₁ ist eine ungerade, die andern gerade Funktionen. Alle besitzen doppelt unendlich viele Nullstellen, dagegen werden sie nur durch unendlich oftes Hinzufügen der Periode unendlich groß. Die Quotienten von Thetafunktionen sind elliptische Funktionen, nämlich:

sin am w = ϑ₃(0)/ϑ₂(0) · ϑ₁ (w)/ϑ₀ (w); cos am w = ϑ₀ (0)/ϑ₂(0) · ϑ₂(w)/ϑ₀(w);

Δ am w = ϑ₀(0)/ϑ₃(0) · ϑ₃(0)/ϑ₀(w). Es ist ϑ₁' (0) = π/2K ϑ₀ (0) ϑ₂ (0) ϑ₃ (0).

Die Differentialgleichung der allgemeinen Thetafunktion ist ∂²ϑ(w)/∂w² = π/K · ∂ϑ(w)/∂k. Wie zu den elliptischen gehören auch zu den hyperelliptischen Funktionen entsprechende (höhere) Thetafunktionen.

Literatur: [1] Bobek, K., Einleitung in die Theorie der elliptischen Funktionen, Leipzig 1884. – [2] Neumann, C., Vorlesungen über Riemanns Theorie der Abelschen Integrale, 2. Aufl., Leipzig 1884. – [3] Krazer, A., Theorie der zweifach unendlichen Thetareihen auf Grund der Riemannschen Thetaformel, Leipzig 1882. – [4] Krazer, A. und Prym, F., Neue Grundlagen einer Theorie der allgemeinen Thetafunktionen, Leipzig 1892. – [5] Prym, F., Untersuchungen über die Riemannsche Thetaformel, Leipzig 1882. – [6] Wirtinger, W., Untersuchungen über Thetafunktionen, Leipzig 1895. – [7] Stahl, H., Theorie der Abelschen Funktionen, Leipzig 1896. – [8] Tannery u. Molk, Eléments de la théorie des fonctions elliptiques, II, Paris 1896. – [9] Baker, Abels Theorem and the allied theory including the theory of the thetafunctions, Cambridge 1897. – [10] Thomä, Abriß einer Theorie der komplexen Funktionen und der Thetafunktionen einer Veränderlichen, Halle 1870. – [11] Kötter, F., Ueber Thetafunktionen, Berlin 1896. – [12] Krazer, A., Lehrbuch der Thetafunktionen, Leipzig 1903.

Wölffing.