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Umdrehungsflächen

[707] Umdrehungsflächen entstehen durch Umdrehung einer Kurve um eine gerade Linie als Achse. Geometrisches darüber vgl. Fläche, Bd. 4, S. 56.

Ist (a, b, c) ein Punkt der Achse, l, m, n die Richtungscosinus derselben, so ist (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = Φ (l x + m y + n z) die Gleichung einer Umdrehungsfläche mit dieser Achse. Ihre Differentialgleichung ist

Ist die z-Achse Achse der Fläche, so ist z = f (x² + y²) die Gleichung und y∂z/∂x – x∂z/∂y = 0 die Differentialgleichung derselben. Die Normale der Umdrehungsfläche geht durch die Achse hindurch. Die Krümmungslinien der Fläche sind die Meridiane und die Parallelkreise. Hauptkrümmungshalbmesser sind die Krümmungsradien der Meridiane und die Abschnitte der Normalen der Meridiane bis zur Achse. Durch Drehung eines Kegelschnitts um eine Achse entstehen Umdrehungsflächen zweiter Ordnung. Andre Beispiele von Umdrehungsflächen sind der Wulst, das Unduloid, das Catenoid, das Nodoid.

Wölffing.