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Siebentes Kapitel

[111] Bei der dritten Figur findet kein wechselseitiger oder Zirkelbeweis statt, wenn beide Vordersätze allgemein lauten; denn Allgemeines kann nur durch Allgemeines bewiesen werden, während der Schlusssatz in dieser Figur immer beschränkt lautet, so dass offenbar die allgemein lautenden Vordersätze in dieser Figur sich nicht im Zirkel beweisen lassen. Dagegen kann, wenn der eine Vordersatz allgemein und der andere beschränkt lautet, letzterer manchmal bewiesen und manchmal nicht bewiesen werden. Lauten nämlich beide Vordersätze bejahend und ist der mit dem engeren Aussenbegriff ein allgemeiner, so kann es geschehen; lautet aber der andere Vordersatz allgemein, so kann es nicht geschehen.[111] Denn A sei in allen C und B sei in einigen C; hier ergiebt sich der Schlusssatz, dass A in einigen B enthalten sei. Setzt man nun, C sei in allen A enthalten, so ergiebt sich wohl der Beweis, dass C in einigen B enthalten ist, aber nicht der Beweis, dass B in einigen C enthalten; indess muss, wenn C in einigen B enthalten, nothwendig auch B in einigen C enthalten sein. Es ist aber nicht dasselbe, ob dieses jenem und jenes diesem zukommt; vielmehr muss man auch die Vorausetzung hinzunehmen, dass, wenn dieses in einigen von jenem enthalten ist, auch jenes in einigen von diesem enthalten sei. Nimmt man aber diesen Satz noch hinzu, so wird der Schluss nicht blos aus dem Schlusssatz und dem anderen Vordersatz gebildet.

Wenn aber B in allen C und A in einigen C enthalten ist, so kann der letztere Satz bewiesen werden, wenn man setzt, dass C in allen B, aber A nur in einigen B enthalten; denn wenn C in allen B und A in einigen B enthalten ist, so muss A in einigen C enthalten sein: der Mittelbegriff ist hier B.

Ist der eine Vordersatz bejahend und der andere verneinend, und lautet der bejahende allgemein, so kann der andere bewiesen werden. Denn es sei B in allen C enthalten, aber A in einigen C nicht; hier ergiebt sich der Schlusssatz, dass A in einigen B nicht enthalten ist. Setzt man nun noch, dass C in allen B enthalten sei, so muss nothwendig A in einigen C nicht enthalten sein; auch hier ist B der Mittelbegriff. Lautet aber der verneinende Vordersatz allgemein, so kann der andere nicht bewiesen werden, wenn man nicht, wie vorher, die Voraussetzung noch hinzunimmt, dass wenn das Eine in einigen eines Begriffes nicht enthalten, das Andere in diesen einigen dieses Begriffes enthalten sei. Wenn z.B. A in keinem C enthalten, aber B in einigen C enthalten ist, so lautet der Schlusssatz, dass A in einigen B nicht enthalten ist. Nimmt man nun hinzu, dass C in einigen von dem enthalten sei, wo A in einigen nicht enthalten ist so muss C in einigen B enthalten sein. Auf eine andere Art kann man mit Umkehrung des allgemeinen Vordersatzes den anderen Vordersatz nicht beweisen, da sonst kein Schluss dabei sich bildet.

Es erhellt also, dass in der ersten Figur der wechselseitige[112] Beweis vermittelst der ersten und dritten Figur geschieht; lautet der Schlusssatz bejahend, so geschieht es durch die erste Figur, und lautet er verneinend, durch die dritte; denn man nimmt die Voraussetzung hinzu, dass wenn das Eine in Keinem eines Begriffes enthalten das Andere in allen dieses Begriffs enthalten sei. In der zweiten Figur erfolgt, wenn der Schluss ein allgemeiner ist, der Zirkelbeweis durch dieselbe Figur und durch die erste Figur; lautet aber der Schlusssatz nur beschränkt, so erfolgt der Beweis mittelst der zweiten und dritten Figur. In der dritten Figur werden alle Beweise durch dieselbe Figur geführt.

Es erhellt auch, dass in der zweiten und dritten Figur die Beweise, welche nicht durch die gleiche Figur geführt werden, entweder überhaupt keine Zirkelbeweise sind, oder dass sie unvollkommen sind.