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Belastung [2]

[661] Belastung der Träger (s.a. Angreifende Kräfte, Eigengewicht, Verkehrslast). Dieselbe kann aus konzentrierten Lasten und stetig verteilten Lasten bestehen. Bei edleren sind die Angriffspunkte durch meßbare Strecken getrennt (Fig. 1 und 10), bei letzteren bilden sie eine stetige Folge (Fig. 2–9). Die stetig verteilte Last heißt auf einer Strecke gesetzmäßig verteilt, wenn sich für alle Elemente der Strecke die Belastung pro Längeneinheit durch dieselbe Gleichung, u = f(a), das Gesetz der Verteilung, ausdrücken läßt; sie heißt im besonderen gleichmäßig verteilt, wenn die Belastung pro Längeneinheit konstant ist. Trägt man bei beliebiger stetig verteilter Last an jeder Stelle a die Belastung pro Längeneinheit daselbst als Ordinate an, so entsteht in der Verbindungsgeraden der Endpunkte die entsprechende Belastungslinie; die Fläche zwischen dieser und der Abszissenachse wird Belastungsfläche genannt. In Fig. 2–4 sind die Belastungslinien für eine beliebige stetig verteilte Last, eine gesetzmäßig verteilte Last und eine gleichmäßig verteilte Last verzeichnet. Als Verkehrslast bezeichnet man diejenigen Lasten, die der Träger neben dem Eigengewicht der[661] Konstruktion aufzunehmen hat. Eigengewicht und Verkehrslast zusammen bilden die Gesamtbelastung (Vollbelastung, Totalbelastung). Da die Verkehrslast in der Regel ganz oder teilweise ihren Ort wechseln kann, so pflegt man auch von fester Last und bewegter Last zu sprechen, die vereint ebenfalls die Gesamtbelastung ausmachen. Von der Belastungsart eines Trägers spricht man im Hinblick auf das Vorkommen konzentrierter, gesetzmäßig und gesetzlos verteilter Latten (man fragt, wie die Lasten wirken); der Ausdruck Belastungsfall dagegen bezieht sich auf die Anordnung der Lasten am Träger (man fragt, wo die Lasten wirken). Zu vollständiger Berechnung eines Brückenträgers hat man oft eine ganze Anzahl von Belastungsfällen zu berücksichtigen (s. z.B. Balken, durchlaufende). Da aber auch verschiedene Belastungsarten vorkommen, so hat man die Formeln zur Berechnung der wichtigsten Träger zunächst für ganz beliebige Belastungen gegeben, wonach sich dieselben für besondere Belastungen leicht spezialisieren lassen, indem je nach der Belastung nur diejenigen Glieder (Summenausdrücke Σ) besondere Formen annehmen, die eben die Lasten enthalten. Dabei ist zu beachten, daß eine stetig verteilte Last von u = f(a) pro Längeneinheit für die Strecke d a die unendlich kleine konzentrierte Last ergibt (Fig. 2–4):

P = u d a = f (a) d a,

und eine Summe solcher unendlich kleiner Summanden als Integral bezeichnet wird, so daß z.B.

und speziell für gleichmäßig verteilte Last, d.h. bei konstantem u,

Dabei in wie im folgenden vorausgesetzt, daß die Summengrenzen als Abszissen aufzufassen sind (vgl. Balken, Bogen). Es möge nun auf die wichtigsten Fälle hingewiesen werden.

I. Gleichmäßig verteilte Last. Die Belastung sei innerhalb der Summengrenzen auf die ganze Länge gleichmäßig verteilt, u pro Längeneinheit. Dann erhält man in der angeführten Weise:

Hieraus ergeben sich auch bei beliebigen l, μ, d:

Weiter kommen mitunter zur Verwendung:

und wenn

[662] Die Berechnung kann oft durch Zerfällung umgangen oder erleichtert werden. So ist

Näheres s. insbesondere [5], S. 14, 29 und [6], S. 2.

II. Konzentrierte Lasten und gleichmäßig verteilte Last. Es sei innerhalb der Summengrenzen u die gleichmäßig verteilte Last pro Längeneinheit (gewöhnlich das Eigengewicht). Die von ihr herrührenden Teile der Summenwerke Σ sind aus I zu entnehmen. Beziehen sich im folgenden die Summen rechts nur noch auf die konzentrierten Laden, während diejenigen links alle Lassen umfassen, so hat man:

III. Zweierlei gleichmäßig verteilte Lasten. Die gleichmäßig verteilte Last sei (Fig. 5, 6):

u von a = 0 bis a = z, u' von a = z bis a = l,

dann hat man auf die Länge d a:

von 0 bis z P = u d a, von z bis l P = u' d a,

wonach für

und für

In gleicher Weise laden sich die sonst vorkommenden Summen spezialisieren. In praktischen Fällen pflegen u, u' das Eigengewicht und die Gefamtbelastung pro Längeneinheit zu sein, so daß ± (u' – u) = p die Verkehrslast pro Längeneinheit bedeutet. Näheres s. insbesondere [1], S. 70, [5], S. 14, [6], S. 2, und [7], § 13.

IV. Beliebig gesetzmäßig verteilte Lasten. Die Werte der Summenausdrücke ergeben sich in der obenangeführten Weise. Wäre z.B. die Belastung pro Längeneinheit nach der Andeutung in Fig. 7 veränderlich, dann hätte man bei a

u = (l–a)u₀/l, P = u d a,

womit

und sollte u entsprechend Fig. 8 durch die Parabelgleichung

u = a(l–a)4f/l²

ausgedrückt sein, so würde wieder mit P = u d a:

Die Resultate gelten natürlich auch für x = 0 oder l. Mit den Ausdrücken für die gleichmäßig verteilte Last und die Dreieckslast hat man auch diejenigen für die Trapezlad, die sich aus jenen beiden zusammensetzen läßt, so daß bei den Bezeichnungen in Fig. 9

Näheres s. insbesondere [5], S. 14, [6], S. 2.

V. Konzentrierte Lasten bei veränderlichem x (bei verschiedenen Querschnitten). Mitunter hat man Summen der unter I. behandelten Art bei konstanten a (bestimmter Laststellung) und variabeln x zu differenzieren oder zu integrieren. Für Differentiationen gilt die Formel:

so daß einfach die mit P multiplizierte Funktion φ (x, a) nach x zu differentiieren ist. Beispielsweise wird

Für Integrationen hat man

wonach beispielsweise

Näheres s. insbesondere [5], S. 12, [S]. 1.[663]

VI. Konzentrierte Lasten bei veränderlichem a (bei verschiedenen Stellungen). In manchen Fällen sind Summen der unter I. erwähnten Art bei konstantem x, aber variablem a zu differentiieren. Bewegt sich ein System von Lassen P₁ P₂, ... in festen Entfernungen (Lastzug, z.B. Fig. 10) zwischen den Summengrenzen, so ändern sich mit jeder unendlich kleinen. Verrückung alle a um das gleiche d a, es ergibt sich:

so daß jetzt die mit P multiplizierte Funktion φ (x, α) einfach nach a zu differentiieren ist. Beispielsweise erhält man

und allgemeiner bei konstantem n:

Näheres s. insbesondere [5], S. 16, [6], S. 4.

S.a. Schnittkräfte (Einfluß der Zwischenträger), Lastäquivalente, Eigengewicht Verkehrslast.

Literatur: [1] Weyrauch, Allgemeine Theorie und Berechnung der kontinuierlichen und einfachen Träger, Leipzig 1873, S. 70, 167. – [2] Ders., Zeitschr. f. Mathem. und Physik 1873, S. 396, und 1874, S. 547. – [3] Ders., Zeitschr. d. Archit.- und Ingen.- Vereins zu Hannover 1875, S. 467. – [4] Ders., Aufgaben zur Theorie elastischer Körper, Leipzig 1885, S. 2. – [5] Ders., Theorie der statisch bestimmten Träger für Brücken und Dächer, Leipzig 1887, S. 9. – [6] Ders.,. Beispiele und Aufgaben zur Theorie der statisch bestimmten Träger für Brücken und Dächer, Leipzig 1888, S. 1. – [7] Ders., Elastische Bogenträger, München 1895, § 13.

Weyrauch.

Fig. 1., Fig. 2., Fig. 3., Fig. 4.

Fig. 5., Fig. 6.

Fig. 7., Fig. 8., Fig. 9.

Fig. 10.