[767] Differenzengleichungen kommen in der Differenzenrechnung vor und sind entweder Gleichungen zwischen aufeinander folgenden Gliedern der Hauptreihe, also etwa f (x, ux, ux + 1 ... ux + n) = 0, oder Gleichungen zwischen ux und einer Anzahl von Differenzen, also etwa f (x, ux Δux, Δ2ux ... Δnux) = 0. Jede dieser Formen kann übrigens auf die andre zurückgeführt werden.
Eine Differenzengleichung integrieren heißt die Funktion ux finden, die derselben genügt. Die Integrale der Differenzengleichungen werden als »endliche Integrale« bezeichnet; die Integration besteht in der Tat aus einer Summierung endlicher Reihen. Die Integration der linearen Differenzengleichungen:
aux + n + bux + n – l + ... + pux + 1 + qux = r
bietet große Analogien mit der Integration der linearen Differentialgleichungen dar (s. Differentialgleichungen II. a) und b). Fehlt das Absolutglied r, so heißen dieselben rekurrente Gleichungen.
Literatur: Die unter Differenzenrechnung [1] und [2] aufgeführten Werke; ferner Heymann, W., Studien über die Transformation und Integration der Differentialgleichungen und Differenzengleichungen, Leipzig 1891, Kap. 4.
Wölffing.