Fouriersche Reihen

[147] Fouriersche Reihen, trigonometrische Reihen, die nach Sinus und Cosinus der vielfachen Argumente fortschreiten.

Ist φ (x) eine Funktion von x, so kann man sie nur auf eine Weise in eine Fouriersche Reihe entwickeln: φ (x) = ¹/₂b₀ + b₁ cos x + b₂ cos 2x + ... + a₁ sin x + a₂ sin 2x + ..., wo

Diese Reihe konvergiert für –π < x < n und stellt in diesem Intervall die Funktion dar, soweit sie stetig ist. Für x = ± π nimmt die Reihe den Wert (φ (π) + φ (–π))/2 an; für Werte von x, an welchen die Funktion einen Sprung von a nach b ausführt, liefert die Reihe den Wert (a + b)/2.

Die Fouriersche Reihe kann auch zur Darstellung von solchen Funktionen dienen, welche innerhalb des gegebenen Intervalls in einzelnen Teilen ihres Verlaufs verschiedene Gesetze befolgen. Jedoch darf die Funktion weder unendlich werden noch unendlich viele Unstetigkeitspunkte noch unendlich viele Maxima und Minima zwischen –π und +π besitzen. Die Fourierschen Reihen spielen in der mathematischen Physik, insbesondere in der Theorie der Saitenschwingungen und in der Wärmetheorie eine Rolle.

Literatur: [1] Riemann, Partielle Differentialgleichungen, Braunschweig 1876, 2. Aufl., 2. Abschn. – [2] Serret, Lehrbuch der Integralrechnung, deutsch von Harnack, Leipzig 1885, 1. Hälfte, Anhang. – [3] Meyer, G.F., Vorlesungen über die Theorie der bestimmten Integrale, Leipzig 1871, 1. Buch, 2. Abt., Kap. 4. – [4] Beau, O., Analytische Untersuchungen im Gebiet der trigonometrischen Reihen und der Fourierschen Integrale, 2. Aufl., Halle 1885. – [5] Frischauf, J., Vorlesungen über Kreis- und Kugelfunktionenreihen, Leipzig 1897. – [6] Byerly, An elementary treatise on Fourier's series and spherical cylindrical and ellipsoidical harmonics, Boston 1893. – [7] Neumann, C., Ueber die nach Kreis-, Kugel- und Zylinderfunktionen fortschreitenden Entwicklungen, Leipzig 1881. – [8] Rübenstein, Ueber Darstellung von Funktionen durch periodische Reihen, Mährisch-Ostrau 1903. – [9] Blasel, Beitrag zur Theorie periodischer Reihen, Leobschütz 1903. – [10] Sachse, Versuch einer Geschichte der Darstellung willkürlicher Funktionen einer Variabeln durch trigonometrische Reihen, Göttingen 1879.