Harmonisch

[778] Harmonisch heißen vier Punkte ABCD auf einer Geraden (s. die Figur), wenn das Doppelverhältnis (s.d.) derselben den Wert –1 hat.

Dann besteht die Beziehung AB · BD = AD · BC. Der Punkt C teilt die Strecke AB innerlich in demselben Verhältnis wie äußerlich der Punkt D (oder umgekehrt). A, B und C, D heißen je zwei zugeordnete Punkte; dieselben trennen sich gegenseitig. Man kann zwei zugeordnete Punkte vertauschen, ohne daß das Doppelverhältnis seinen Wert –1 verändert. Vier Strahlen PA, PB, PC, PD, welche die vier Punkte aus einem Punkt projizieren, heißen ebenfalls harmonisch; ihr Doppelsinusverhältnis sin APC/sin BPC : sin APD/sin BPD hat den Wert. – Die vier harmonischen Strahlen werden wieder von jeder Geraden in vier harmonischen Punkten A' B' C' D' geschnitten u.s.w. Auch bei andern[778] geometrischen Gebilden kommt die harmonische Lage vor, z.B. bei vier Punkten eines Kegelschnitts, bei vier Ebenen u.s.w. Aequianharmonisch heißen vier Punkte, deren Doppel Verhältnis α eine imaginäre dritte Wurzel aus –1 ist, so daß α² – α + 1 = 0.