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Interpolation

[205] Interpolation, die Berechnung von Zwischenwerten einer Funktion, wenn für eine endliche Anzahl von Werten des Arguments die zugehörigen Funktionswerte gegeben sind.[205]

Bilden die zu den m + 1 gegebenen Funktionswerten u₀ u₁ ... u_m gehörigen Argumente x₀ x₁ ... x_m eine arithmetische Reihe, so daß x_n = x₀ + n d ist, so bildet man von der Reihe u₀ u₁ ... u_m die Differenzreihen und bedient sich der Newtonschen Interpolationsformelu_n = u₀ + (ⁿ₁) Δu₀ + (ⁿ₂) Δ²u₀ + ... + Δ_nu₀. Diese Formel liefert genau die gegebenen Funktionswerte für n = 1 ... m; sie liefert genähert die Funktionswerte für andre Werte von u. Für gebrochene und negative n geht sie in eine unendliche Reihe über: u_n = u₀ + (ⁿ₁)Δu₀ + ... in infinitium. Die Binomialkoeffizienten werden in dieser Reihe (zumal für gebrochene n) als Interpolationskoeffizienten bezeichnet. Werte von solchen sind in [3] berechnet. In andrer Bezeichnung macht man nach dem Vorgang von Encke [2] von dieser Reihe in der Astronomie Gebrauch, wobei man den Ausgangspunkt der Differenzen in die Mitte der gegebenen Funktionswerte verlegt. Bilden die Argumente x₀ ... x_m keine arithmetische Reihe, so bedient man sich zur Interpolation der Lagrangeschen Formel:

Auch diese Reihe liefert die Funktionswerte genau für die Argumente x₀ x₁ ... x_m; für andre Argumente ist der Fehler am kleinsten, je näher der Wert u in der Mitte der gegebenen u₀ ... u_m liegt. Sind ferner x₀ ... x_m die Wurzeln einer Gleichung (m + 1) Grades F(x) = 0, so kann man auch schreiben:

Soll die Funktion f(x) als periodische Reihe dargestellt werden, so hat man

zu setzen. Die Interpolation dient zur Berechnung von Logarithmen- und andern Tafeln, im kleinen auch bei der Aufsuchung von Zwischenwerten in solchen Tafeln. Ferner findet sie ausgedehnte Anwendung in der Astronomie.

Literatur: [1] Gauß, Werke, Bd. 3, Göttingen 1866. – [2] Brünnow, Lehrb. der sphärischen Astronomie, 4. Aufl., Berlin 1880. – [3] Peters, C.F.W., Astronomische Tafeln und Formeln, Hamburg 1871. – [4] Markoff, A., Differenzenrechnung, deutsch von Friesendorff und Prümm, 1. Teil, Leipzig 1896. – [5] Diestel, F., Beiträge zur Interpolationsrechnung, Göttingen 1890. – [6] Mauderli, S., Die Interpolation und ihre Verwendung bei der Benutzung und Herstellung mathematischer Tabellen, Solothurn 1906.

Wölffing.