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Minimalfläche

[439] Minimalfläche, eine Fläche, welche eine gegebene Raumkurve (oder einen gebrochenen Linienzug im Räume, z.B. ein windschiefes Viereck) zur Begrenzung hat und unter allen derart begrenzten Flächen die kleinste Oberfläche besitzt.

Die Summe ihrer Hauptkrümmungsradien in jedem Punkt ist Null, d.h. dieselben sind gleich und entgegen gesetzt. Die Asymptotenkurven schneiden sich unter rechten Winkeln; die Krümmungslinien teilen die Fläche in kleine Quadrate ein; dasselbe gilt von den Niveau- und Falllinien. Die partielle Differentialgleichung der Minimalflächen ist (1 + q²) r – 2 pqs + (1 + p²) t = 0.[439] Sind F (u) und Φ (v) beliebige Flächen, so sind

die Gleichungen einer beliebigen Minimalfläche. Dieselbe ist reell, wenn Φ die zu F konjugierte komplexe Funktion ist. Sind F und Φ dritte Ableitungen algebraischer Funktionen, so ist die Fläche algebraisch. Sie kann alsdann die unendlich ferne Gerade nur in Geraden und im imaginären Kugelkreis schneiden. Die algebraischen Minimalflächen sind mindestens von der neunten Ordnung (Ennepersche Fläche) und mindestens von der fünften Klasse (Hennebergsche Fläche). Spezielle Minimalflächen sind: die Scherksche Schraubenfläche

z = 2 log 2 cos α – 2 φ sin α (wo r und φ Parameter); das Katenoid:

und die flachgängige Schraubenfläche

Bei den Plateauschen Gleichgewichtsfiguren (s. Bd. 4, S. 561), bei welchen eine flüssige Masse der Wirkung der Schwere entzogen ist, treten Minimalflächen auf, welche durch gegebene Kurven hindurchgehen. Jede auf einer Minimalfläche liegende Gerade ist eine Symmetrieachse derselben.

Literatur: [1] Salmon, Analytische Geometrie des Raumes, deutsch von Fiedler, 2. Teil, 3. Aufl., Anm. 15, Leipzig 1880. – [2] Stahl, H., und Kommerell, N., Die Grundformeln der allgemeinen Flächentheorie, § 12, Leipzig 1893. – [3] Darboux, Leçons sur la théorie générale des surfaces, Bd. 1, Paris 1887.

Wolffing.