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Partialbrüche

[44] Partialbrüche (Teilbrüche). Eine rationale Funktion (ein rationaler Bruch) einer Veränderlichen x läßt sich immer nur in einer Weise zerfallen: in eine ganze Funktion und in eine Summe von sogenannten Partialbrüchen, die konstante Zähler und als Nenner die einzelnen Faktoren des Nenners der zu zerlegenden Funktion haben.

Es sei zu zerlegen f(x)/F(x) = (x – a) (x – b) ... (x – l). d.h. die Faktoren von F (x) seien zunächst alle reell und voneinander verschieden. Ist F(x) von gleichem oder niedrigerem Grad als f(x), so muß zunächst durch Division die ganze Funktion abgespalten werden. Der Rest der Division ergibt φ(x)/F(x), wo jetzt φ(x) von niedrigerem Grad als F(x) ist. Man hat nun

[F' (x) ist die Ableitung von F (x)]. Anstatt durch Differentialrechnung kann die Größe F' (a) auch durch rein algebraische Prozesse ermittelt werden. Es mögen ferner α der Wurzeln von F(x) = 0 einander gleich sein, so daß F(x) = (x – a)^αφ(x). Es sei ferner f_α(x) der Quotient, welcher sich bei Division einer Funktion f(x) durch x – a ergibt. Alsdann kann man von

zunächst einen Bruch mit Nenner (x – a)^α abspalten, indem man hat

Auf den zweiten rechts stehenden Ausdruck wird dasselbe Verfahren angewendet und man gelangt dadurch zu einer Entwicklung:

Sind zwei Wurzeln von F(x) = 0 komplex konjugiert, z.B. a ± b i, so empfiehlt es sich, die beiden betreffenden Partialbrüche auf gemeinsamen Nenner zu bringen, wodurch ein Bruch mit linearem

Zähler und quadratischem Nenner entsteht von der Form

Bei der praktischen Ausrechnung von Beispielen empfiehlt es sich vielfach, die Partialbruchzerlegung zunächst mit unbestimmten Koeffizienten anzuschreiben und, indem man die Partialbrüche wieder auf gemeinsamen Nenner bringt, die Koeffizienten durch Koeffizientenvergleichung zu bestimmen. Beispiel

wo der Nenner gleich (x – 1)²(x + 1) (x² + 2x + 2), gibt durch Abspalten der ganzen Funktion, und Anschreiben der Partialbruchentwicklung:

Die Vereinigung der Brüche ergibt für die unbekannten Koeffizienten die Relationen

A₁ + B + C = 3; A + 2A₁ + C₁ – C = –7; 3A + A₁ – B – C – C₁ = –3; 4A – 2A₁ – 2B + C – C₁ = 8; 2A – 2A₁ + 2B + C₁ = 9, hieraus A = 1; A₁ = –2; B = 2; C = 3; C₁ = –1, also

Die Partialbruchzerlegung ist für die Integration der rationalen Funktionen von Wichtigkeit.

Literatur: [1] Serret, Lehrbuch der Differential- und Integralrechnung, deutsch von Harnack, I, Leipzig 1884, Kap. 12. – [2] Reuschle, Abgekürzte algebraische Division bei quadratischem und höherem Divisor, Zeitschr. für Mathematik und Physik 41, 93–102 (1896).

Wölffing.