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Sigmafunktionen

[112] Sigmafunktionen, Funktionen, die mit doppeltperiodischen Funktionen verwandt sind und ∞² Nullstellen besitzen.

Es seien Ω = 2m ω + 2m' ω' diese Nullstellen, wobei m und m' ganze positive oder negative Zahlen, die nicht beide verschwinden dürfen, ω und ω' zwei komplexe Größen, deren Verhältnis nicht reell ist. – Alsdann ist

eine Sigmafunktion. Das unendliche Doppelprodukt konvergiert für jedes endliche x. Die Sigmafunktion ist eine ungerade Funktion; sie hat keine endliche Unendlichkeitsstelle, ist daher auch nicht doppeltperiodisch. Dagegen ist die logarithmische Ableitung der Sigmafunktion

die sogenannte p-Funktion, doppeltperiodisch mit den Perioden 2ω und 2ω'. Sie ist die Umkehrung der Weierstraßschen Normalform des elliptischen Integrals erster Gattung

Literatur: Biermann, O., Theorie der analyt. Funktionen, Leipzig 1887, § 52; Forsyth, A.R., Theory of functions of a complex variable, Cambridge 1893, §§ 122, 123.

Wölffing.