Online-Bibliothek

Spannungsellipse

[157] Spannungsellipse, geometrisch abgeleitet.

Es sei a b c (Fig. 1) ein unendlich kleines Element eines von äußeren Kräften beanspruchten Körpers; a und b seien die beiden Hauptschnitte und σ₁ und σ₂ die beiden Hauptspannungen. Die auf[157] die Schnittfläche c wirkende Spannung sei ρ. Multipliziert man σ₁ mit a, σ₂ mit b und ρ mit c, so erhält man drei Kräfte, die miteinander im Gleichgewicht stehen. Man findet daher die Spannung ρ, wenn man die Spannungen σ₁ a : c und σ₂ b : c zusammensetzt. Dies ist in der Fig. 2 geschehen: Man zeichnet mit den Halbmessern σ₁ und σ₂ zwei Kreise und zieht durch den Mittelpunkt O eine Linie O B A, die auf c senkrecht steht. Dann ist aus einfachen geometrischen Gründen O A' = σ₁ a : c und O B' = σ₂ b : c, folglich O C = ρ. Wiederholt man diese Zeichnung für verschiedene Richtungen von c, so liegen die Endpunkte der ρ alle auf einer Ellipse, die man »Spannungsellipse« nennt. Man erkennt leicht, daß ρ stets kleiner als σ₁ und größer als σ₂ ist; die beiden Hauptspannungen stellen also die größte und kleinste aller Spannungen dar. Ferner zeigt sich, daß die Spannungsellipse nur von der absoluten Größe der Hauptspannungen abhängt und unverändert bleibt, auch wenn man das Zeichen einer oder beider Hauptspannungen wechselt. Ueberträgt man diese Betrachtungen auf den Raum, so gelangt man zum Spannungsellipsoid.

Literatur: Culmann, Graph. Statik, 2. Aufl., Zürich 1875; Ritter, W., Anwendungen der graph. Statik, Zürich 1888, 1. Teil

(† W. Ritter) Mörsch.

Fig. 1., Fig. 2.