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Zahnstärke

[961] Zahnstärke, im Teilkreis gemessen, wird unter Rücksicht auf Festigkeit und Abnutzung nach dem Zahndruck berechnet.

Die Stärke a eines Zahnes beträgt für geschnittene (gefräste oder gehobelte) Zähne nahezu 0,5t, für rohe Zähne 19/40 t = 0,475t, für Holzeisenräder (Bd. 5, S. 113) 0,56t und 0,41t, für Einzelräder mit starker Uebersetzung 0,6t und 0,4t (s. Verzahnungen, Fig. 6).

Zur Berechnung der Teilung denkt man sich den zu übertragenden Zahndruck P am äußersten Kopfende des Zahnes in tangentialer Richtung wirken, im Abstande h von der Zahnwurzel am Fußkreis, wo der Zahn die Stärke a₁ und die Breite b hat. Dafür gilt mit der Spannung s die Formel P h = ¹/₆ b a₁² s. Indem man die Abmessungen auf die Teilung t oder die Stichzahl τ = t/π bezieht, kann man ¹/₆(a₁/t)² s/(h/t) = k setzen und erhält unter mittleren Verhältnissen mit h = 2¹/₆τ = 0,68t und a₁ = 0,52t die Zahl k = s/15, sonst auch s/10 bis s/20. Damit läßt sich die Gleichung umformen in P = k b t = k (b/t) t² neben P = (b/t) t² s/15. Hieraus ergibt sich der Modul

Man hat zunächst s und b/t der Erfahrung entsprechend je nach der Umfangsgeschwindigkeit u anzunehmen. Während die Zahnbreite (s.d.) mit wachsender Geschwindigkeit größer zu wählen ist, passend im Verhältnis

muß die Spannung wegen der Abnutzung und in Rücksicht auf die stärkeren Stöße der schnellaufenden Masten abnehmen. Die Zahnräderfabrik von Friedrich Stolzenberg & Co. legt ihren Berechnungen Spannungen zugrunde, die sich durch s = 450 – 75 √u oder k = 30 – 5√u ausdrücken lassen, wogegen die Angabe k = 20 – √n für Gußeisen, gültig bis n = rund 250 U/Min. für dasjenige Rad, das hinsichtlich Abnutzung und Erwärmung als maßgebend angesehen wird, sehr sichere Werte liefert. Mittlere Werte gibt die Beziehung

worin s₁ den normalen, für u = 1 m/sec zulässigen Wert bedeutet; sie ist von Reuleaux angegeben und z.B. in einer von der Eisen- und Stahlgießerei von Otto Gruson in Magdeburg-Buckau herausgegebenen Tafel zur Zahnradbemessung benutzt. In Verbindung mit

führt sie auf die einfache Formel

für das Moment von M cmkg oder

für N PS. Sie gilt für die gewöhnlichen Betriebsverhältnisse mit mäßigen Geschwindigkeiten, insbesondere für die Räder von Gußeisen und Stahlguß, deren Anwendungsgebiet nur gelegentlich über 5 msec hinausgeht. Nebenbei genügt die Rechnung mit dieser Formel auch für den Fall, daß der Druck nicht über die ganze Breite gleichmäßig verteilt ist, sondern nur nahe an einer Stirnseite wirkt, wobei der Zahn über Eck in einer schrägen Bruchfläche von etwa 2t Breite abbrechen könnte.

Die zulässige Spannung beträgt für Gußeisen 300 kg/qcm, Holz 150, Messing 240, Rotguß 400, Phosphorbronze 500, Stahlguß 600, Deltametall gegossen 750, geschmiedet 800, Maschinenstahl 900, Gußstahl 1000. Bei ständigem Betrieb geht man, zur Erhöhung der Lebensdauer, auf zwei Drittel bis drei Viertel der Werte herab. Bei den schrägstehenden Zähnen der Schnecken- und Pfeilzahnräder rechnet man mit 450 statt 300, bei Getrieben mit stoßendem Gang oder großen Schwungmassen mit 100 bis 50. Bei mehrfachen Vorgelegen setzt man die Spannung verschieden, z.B. an Winden für die Räder an der Trommelwelle 400–500, für das vorliegende Paar 300–400, für das Ritzel der Handkurbelwelle 200–300, so daß seine Teilung 8π~10π mm wird; ähnliche Werte finden sich an den Vorgelegen der Drehbänke.

Bei hohen Geschwindigkeiten ist es ratsam, die Spannung in stärkerem Maße abfallen zu lassen, etwa

zu setzen und

weil hier die Abnutzung mehr in Betracht kommt. Diese ist proportional dem bei der Eingriffdauer e durchschnittlich wirksamen Druck P/e und der Umlaufszahl n, die für die Häufigkeit des Zahnangriffs maßgebend ist, im Verhältnis zur Breite b und der Zahnhöhe oder der Teilung t, so daß A = P n/e b t wird. Mit Rücksicht darauf, daß für höhere Geschwindigkeiten größere Zähnezahlen gewählt werden, kann man

schätzen; setzt man dabei

und u = π D n/60 für D m Raddurchmesser, so ergibt sich A = s₁/D. In einem hiernach berechneten Getriebe werden sich alle Triebe und Räder gleichen Durchmessers in einer bestimmten Zeit um gleich viel an den Flanken abnutzen. Wenn die Holz- oder Rohhautzähne stärker als die eingreifenden Gußzähne angenommen werden, kann man die Teilung mit s₁ = 300 berechnen, für Bronze mit Stahl 500 kg/qcm, so daß z.B. für u = 8 m/sec s = 15 k = 75 bezw. 125 wird.[961]

Lindner.