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1. Die mathematischen Objekte

[238] Wenn den mathematischen Objekten ein Sein zukommt, so müssen sie entweder in den sinnlichen Gegenständen existieren, wie manche wirklich annehmen, oder von den sinnlichen Gegenständen abgesondert bestehen, eine Auffassung, die gleichfalls ihre Vertreter hat, – oder falls keines von beiden zutrifft, so haben sie gar kein Sein, oder sie haben ein Sein in anderem Sinne. Im letzteren Falle würde unsere Erörterung sich nicht sowohl auf ihr Sein, als vielmehr auf die Art und Weise ihres Seins zu richten haben.

Daß sie nun unmöglich in den sinnlichen Gegenständen existieren können, und daß diese Auffassung eine ganz willkürliche ist, das haben wir schon, wo wir die Probleme erörtert haben, auf Grund dessen dargelegt, daß zwei Körper nicht einen und denselben Raum einnehmen können, und daß ferner konsequenterweise auch die übrigen Kräfte und Gebilde in den sinnlichen Gegenständen stecken müßten und keine von ihnen eine dem Sinnlichen gegenüber abgesonderte Existenz haben könnte. Soviel also ist schon früher ausgemacht worden. Nun kommt aber noch hinzu die offenbare Unmöglichkeit, unter dieser Voraussetzung irgend einen Körper in Teile zu zerlegen. Er müßte doch nach Flächen geteilt werden, diese aber nach Linien, und diese wieder nach Punkten, so daß, wenn es unmöglich ist, den Punkt zu teilen, es auch bei der Linie unmöglich ist, und wenn bei dieser, auch beim Übrigen. Was macht es also für einen Unterschied, ob wir annehmen, jene sinnlichen Dinge seien Wesen von dieser Beschaffenheit, also unteilbar, oder sie seien es zwar nicht selber, aber Wesen von dieser Art steckten in ihnen drinnen? Was dabei herauskommt, ist ganz dasselbe. Denn wenn man die sinnlichen Dinge teilt, werden diese Wesen mitgeteilt werden, und geht es nicht für diese, so geht es auch für die sinnlichen Dinge nicht.

Andererseits ist es aber ebenso undenkbar, daß Gebilde dieser Art außerhalb der sinnlichen Dinge abgesondert für sich bestehen. Wenn es neben den sinnlichen Dingen Körper geben soll, die von ihnen getrennt,[238] von den sinnlichen Körpern verschieden, für sie ein Prius bedeuten, so müssen offenbar auch ebenso neben den sinnlichen Flächen andere selbständig existieren, und ganz das gleiche gilt für die Punkte und für die Linien. Denn das Verhältnis ist hier wie dort ganz dasselbe. Gilt es aber für diese, so muß es wieder auch neben den Flächen, den Linien und Punkten des mathematischen Körpers andere, gesondert bestehende geben. Denn für das Zusammengesetzte bildet das Nichtzusammengesetzte das Prius. Und wenn den sinnlichen Dingen Körper von nicht sinnlicher Art vorausgehen, so müssen nach derselben Analogie [sofern allen mathematischen Gebilden selbständiges Sein zugeschrieben wird] auch den Flächen an den unbeweglichen Körpern Flächen von derselben Art als an sich seiende vorausgehen, und diese Flächen und Linien würden andere sein, als die an den gesondert bestehenden Körpern; denn jene sind zugleich mit den mathematischen Körpern, diese bilden für die mathematischen Körper das Prius. Es wird also auch wieder Linien für diese Flächen geben; für diese Linien werden andere Linien und Punkte als Prius gefordert, immer nach derselben Analogie, und für die Punkte in den das Prius bildenden Linien als Prius wieder andere Punkte, und erst für diese gäbe es nicht mehr andere Punkte als Prius. Diese Häufung nimmt sich doch aber höchst absonderlich aus. Es ergeben sich neben den sinnlichen Körpern Körper einer einzigen Art; neben den sinnlichen Flächen aber solche dreifacher Art; nämlich Flächen erstens neben den sinnlichen, Flächen zweitens an den mathematischen Körpern, und Flächen drittens neben den an diesen vorgestellten Flächen; Linien gäbe es gar von vierfacher und Punkte von fünffacher Art. Welche von diesen nun sind es, von denen die mathematischen Wissenschaften handeln? Doch wohl nicht die Flächen, Linien und Punkte an dem Körper, der ohne Bewegung ist: denn die Wissenschaft handelt immer von dem Gegenstande, der für das andere das Prius bildet.

Dieselbe Analogie gilt nun auch für die Zahlen. Neben jeder Art von Punkten würde es von ihnen verschiedene Einheiten geben, und ebenso neben jeder Art von sinnlichen Dingen, sodann neben den intelligibeln Gegenständen, und so ergäben sich unzählige Arten von mathematischen Zahlen.

Und wie ferner will man die Schwierigkeiten lösen, die wir schon oben bei unserer Erörterung der Probleme berührt haben? Die Gegenstände, mit denen sich die Astronomie beschäftigt, müßten ebenso neben den sinnlich wahrnehmbaren existieren, wie diejenigen, mit denen es die Mathematik[239] zu tun hat. Wie aber soll man sich das vorstellen, daß ein Himmel sei und seine einzelnen Teile oder sonst irgend etwas, was eine Bewegung vollzieht, noch neben dem Sinnlichen? Das gleiche gilt dann auch mit bezug auf Optik und Akustik. Es müßte Töne und Färben geben neben den sinnlich wahrnehmbaren und den realen einzelnen Erscheinungen, und für die anderen Sinne und ihre Gegenstände würde dasselbe gelten. Denn warum sollte es eher von dem einen Sinn als von den anderen gelten? Ist dem aber so, so wird es, wenn es solche sinnliche Wahrnehmungen gibt, dazu auch noch lebende Wesen neben den sinnlichen Wesen geben müssen, die sie empfinden.

Aber weiter: die Mathematiker stellen allerlei allgemeine Sätze neben jenen Wesenheiten auf; also würde es auch dafür noch eine andere Wesenheit geben müssen, die gesondert bestehend, zwischen den Ideen und dem Mittleren wieder ein Mittleres bedeuten würde, und die weder eine Zahl noch ein Punkt, weder Ausdehnung noch Zeit wäre. Ist nun dies widersinnig, so ist offenbar auch die Ansicht widersinnig, daß jene Wesenheiten von den sinnlichen gesondert bestehen.

Überhaupt aber, faßt man die mathematischen Gegenstände als für sich abgesondert bestehende Gebilde auf, so gerät man in den direkten Gegensatz zu aller Wahrheit und aller Erfahrung. Um dieser ihrer Bedeutung willen müßten sie für die sinnlich ausgedehnten Dinge das Prius abgeben, in Wahrheit aber würden sie das Posterius sein; denn dies Ausgedehnte ohne Realität ist wohl für die Entstehung das Prius, für den wirklichen Bestand aber ist es das Abgeleitete, etwa wie das Unbelebte es dem Belebten gegenüber ist.

Weiter aber: wodurch denn wohl können die mathematischen Objekte eine innere Einheit besitzen? Für die irdischen Dinge leistet es die Seele oder ein Seelenvermögen oder sonst ein Wesen mit verständlicher Wirkung; versagt dies, so ergibt sich eine bloße Vielheit, und das Ding löst sich auf. Was aber soll für jene Dinge, die teilbar und quantitativ sind, den Grund abgeben, daß sie eine Einheit bilden und zu sammen bleiben?

Das gleiche Resultat gibt die Entstehungsweise an die Hand. Ein Ding bildet sich etwa zuerst in der Längsrichtung, dann nach der Breite und zuletzt in die Tiefe aus, und so erreicht es seine Vollendung. Wenn nun das was für die Entstehung das Spätere, für den wirklichen Bestand ein Früheres ist, so ist der Körper früher als die Fläche und als die Linie, und er wird dadurch in noch höherem Grade ein Vollendetes und Ganzes, daß er zum Beseelten wird. Wie könnte aber je eine Linie oder eine Fläche ein Beseeltes[240] sein? Solch eine Annahme ginge doch über alles was man je erlebt hat hinaus. Zudem ist ein Körper ein selbständiges Wesen; denn er besitzt schon einen gewissen Grad voller Realität. Wie sollten aber Linien selbständige Wesen sein? Sie könnten es weder als Form und Gestalt sein, wie etwa die Seele ein solches ist, noch als Materie, wie der Leib. Denn augenscheinlich ist es undenkbar, daß irgend etwas aus Linien, aus Flächen oder aus Punkten bestehen könnte; wären sie aber eine Art materieller Substanz, so müßte dies doch offenbar der Fall sein können. Mögen sie also immerhin begrifflich das Prius sein, so ist doch keineswegs alles, was begrifflich das Prius ist, das Prius auch dem realen Bestände nach. Denn dem realen Bestände nach ist das Prius das, was als gesondert Existierendes ein höheres Maß des Seins besitzt; dem Begriffe nach dagegen sind es jedesmal da wo ein Begriff aus Begriffen besteht, diese Teilbegriffe des ganzen Begriffs. Beides aber, Priorität dem Begriffe und dem realen Bestande nach, findet sich nicht zusammen. Denn wenn neben den selbständigen Wesen die ihnen anhaftenden Bestimmungen, wie die. Bewegtes oder Weißes zu sein, keine eigene Existenz haben, so ist die Bestimmung weiß wohl begrifflich das Prius für den Menschen von weißer Farbe, aber sie ist es nicht auch dem realen Bestände nach. Denn diese Bestimmung kann nicht gesondert für sich bestehen, sondern findet sich immer nur zusammen mit dem konkreten Gegenstande, und unter diesem Konkreten verstehe ich den Menschen von weißer Farbe. Augenscheinlich ist also weder das Abstrakte das Prius, noch das mit der Bestimmung Verbundene das Abgeleitete. Vielmehr deshalb, weil die Bestimmung weiß hinzutritt, wird der Mensch ein Mensch von weißer Farbe genannt.

Damit mag denn als hinlänglich erwiesen gelten, daß die mathematischen Objekte weder selbständige Wesen in höherem Sinne als die Körper sind, noch dem Sein nach für die sinnlichen Dinge das Prius bilden, sondern nur dem Begriffe nach, und daß es auch ausgeschlossen ist, daß sie räumlich gesondert für sich beständen. Da es sich nun als ebenso unmöglich erwiesen hat, daß sie in den sinnlichen Dingen existieren könnten, so ergibt sich augenscheinlich, daß ihnen entweder gar kein Sein zukommt, oder doch ein Sein nur in bestimmtem Sinne, und daß dieses ihr Sein nicht ein Sein schlechthin ist. Denn von Sein spricht man in vielfacher Bedeutung.

Wie nämlich auch die allgemeinen Sätze in der Mathematik nicht von gesondert Existierendem gelten, was noch neben den Raumgrößen und den Zahlen bestände, sondern zwar wohl von diesen, aber nicht als von solchen,[241] die Ausdehnung haben oder in Teile zerlegbar sind: so kann es offenbar auch Gedankenzusammenhänge und Beweisgänge geben, die die sinnlich wahrnehmbaren Größen betreffen, aber nicht, sofern sie sinnlich wahrnehmbar, sondern sofern sie dieses Bestimmte, nämlich Größen, sind. Und wie es viele Gedankengänge gibt, die die Gegenstände nur als bewegte betreffen, unter Absehen von dem was jeder dieser Gegenstände und was seine Beschaffenheiten außerdem noch ihrem Wesen nach sind, und wie es keineswegs notwendig ist, daß deshalb nun auch was bewegt ist ein von den sinnlichen Dingen Abgesondertes oder ein in ihnen als bestimmt abgegrenztes Gebilde Vorhandenes sei: so wird es auch Gedankengänge und Erkenntnisse geben, die das sich Bewegende betreffen, aber nicht als sich Bewegendes, sondern bloß als Körper, und wiederum bloß als Flächen und bloß als Linien, als in Teile zerlegbar oder zwar nicht zerlegbar, aber doch eine Lage innehaltend, oder bloß als nicht zerlegbar. Mithin, da man mit vollem Rechte sagen darf, daß Existenz nicht ohne weiteres nur dem gesondert Existierenden zukommt, sondern auch dem nicht gesondert Existierenden, z.B. dem sich Bewegenden, so darf man auch der Wahrheit gemäß den mathematischen Objekten ohne weiteres ein Sein zuschreiben, und zwar ihnen als solchen, gerade wie man sie sonst auffaßt. Und wie man mit vollem Rechte auch von den anderen Wissenschaften aussagen darf, daß ihr Gegenstand durch den Gesichtspunkt, unter dem er betrachtet wird, und nicht durch eine ihm anhaftende Bestimmung festgelegt wird, – wie also z.B. die Wissenschaft vom Gesunden nicht zur Wissenschaft vom Weißen wird, wenn das Gesunde von weißer Farbe ist, sondern Wissenschaft ist von dem, als was der Gegenstand jedesmal betrachtet wird, Wissenschaft vom Gesunden, wenn Gesundheit den Gesichtspunkt bildet, Wissenschaft vom Menschen, wenn der Gegenstand als Mensch aufgefaßt wird: gerade so also ist es auch mit der Geometrie. Wenn der Gegenstand, mit dem sich die mathematischen Wissenschaften beschäftigen, die Eigenart hat, sinnlich wahrnehmbar zu sein, die Wissenschaft ihn aber nicht als sinnlich wahrnehmbar betrachtet, so ist der Gegenstand der mathematischen Wissenschaften eben nicht das sinnlich Wahrnehmbare, aber freilich auch nicht irgend ein anderes, was in gesonderter Existenz daneben bestände. Den Dingen kommen mancherlei Eigenschaften zu an und für sich und durch ihre bloße Existenz als das was sie sind; das Tier wird betrachtet, das eine als weiblich, das andere als männlich, und das sind charakteristische Bestimmungen an ihnen; dennoch gibt nicht ein Weibliches oder Männliches als von den lebenden Wesen[242] getrennt für sich Existierendes. So nun werden die Dinge auch bloß unter dem Gesichtspunkte als Linien und als Flächen betrachtet, und je mehr solcher Gesichtspunkt den Charakter des begrifflichen Prius und der Einfachheit trägt, um so strenger wissenschaftlich wird die Untersuchung sein. Das Genannte aber ist das Einfache, und darum ist es in höherem Grade vorhanden, wo man von der räumlichen Ausdehnung absieht, als da wo man sie in Betracht zieht, und im höchsten Grade da, wo man von der Bewegung absieht. Handelt man aber von der Bewegung, dann ist die Betrachtung derjenigen Bewegung die strengste, die am meisten ursprünglich ist. Sie ist die einfachste, und innerhalb ihrer ist es die gleichmäßige Bewegung. Das Gleiche gilt für Optik und Akustik. Keine von beiden untersucht den Gegenstand sofern er sichtbar und hörbar ist, sondern sofern er in Linien und Zahlen darstellbar ist; und doch sind jene die den Gegenständen eigentümlich zukommenden Bestimmungen. Und mit der Mechanik verhält es sich ganz ebenso.

Wenn deshalb einer Erscheinungen an einem Objekt herausgreift, sie von den sonstigen dem Objekt zukommenden Bestimmungen isoliert und als solche zum Gegenstande seiner Untersuchung macht, so wird er damit keineswegs etwas Irreführendes und Unwahres beginnen, ebensowenig wie wenn er eine Figur auf den Boden zeichnet und eine Linie der Figur, die doch nicht einen Fuß lang ist, als einen Fuß lang annimmt. Denn die Unrichtigkeit liegt niemals in der Annahme, die man macht. Vielmehr es gilt von jedem Gegenstande, daß er in der Weise am zweckmäßigsten untersucht wird, daß man tatsächlich nicht Getrenntes als getrennt annimmt. Und so in der Tat verfährt der Arithmetiker und der Geometer. Der Mensch als Mensch ist ein Einiges, ein Individuum. Jener nun nimmt ihn als solche Eins, als Individuum, und sieht dann zu, was etwa dem Menschen für Bestimmungen auf Grund dieser Unteilbarkeit zufallen. Der Geometer dagegen betrachtet ihn nicht als Menschen, noch als unteilbare Einheit, sondern als Raumgestalt. Denn offenbar muß das, was ihm an Bestimmungen zukommen würde, auch wenn er nicht ein unteilbares Wesen wäre, nämlich der räumliche Kubikinhalt, ihm auch dann zukommen können, wenn man von seiner Unteilbarkeit absieht. Und deshalb haben die Geometer ganz recht, und ihre Aussagen gelten auch vom Wirklichen und enthalten selber Wirkliches. Denn das Seiende ist gedoppelt; teils ist es aktuell wie die Form, teils potentiell wie die Materie.[243]

Wenn aber weiter das Zweckmäßige und Schöne zweierlei sind, – denn jenes erscheint immer nur in tätiger Bewegung, das Schöne dagegen auch an dem, was sich nicht bewegt, – so ist man auch darin im Irrtum, wenn man behauptet, die mathematischen Wissenschaften sagten nichts aus über das was schön oder zweckmäßig ist. Vielmehr, sie sprechen wohl darüber, ja, sie zeigen es mit Vorliebe auf. Denn daß sie die Ausdrücke nicht gebrauchen, während sie die Wirksamkeit und die vernünftigen Zusammenhänge aufzeigen, das bedeutet doch nicht, daß sie nicht davon sprächen. Die wichtigsten Kennzeichen des Schönen sind Ordnung, Gleichmaß und sichere Begrenzung, und dies gerade zeigen die mathematischen Wissenschaften vor anderen auf. Und da diese Eigenschaften, ich meine z.B. Ordnung und sichere Begrenzung, die Gründe für viele weitere Erscheinungen darstellen, so behandeln die mathematischen Wissenschaften offenbar auch diesen so gearteten Grund, der in gewisser Weise ebensogut Grund ist wie das Schöne selbst es ist. Eingehender werden wir darüber an anderer Stelle zu sprechen haben.