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Durchgehende (kontinuierliche) Balken

[462] Durchgehende (kontinuierliche) Balken (continuous girdes; poutres continues; travi continui) (Theorie), Balkenträger (s. Balkenbrücken und Eiserne Brücken), die über mehrere Stützen ohne Unterbrechung hinweggehen, also an mehr als zwei Punkten so aufgelagert sind, daß sie nur an einem Punkt festgehalten, an den übrigen Unterstützungspunkten wagrecht verschiebbar sind. Es entstehen dann unter lotrechter Belastung an sämtlichen Stützen lotrecht gerichtete Stützendrücke und in den über den Zwischenstützen gelegenen Balkenquerschnitten Biegungsmomente, die sog. Stützenmomente. Es genügt, wenn man für eine gegebene Belastung des Trägers entweder sämtliche Stützendrücke oder sämtliche Stützenmomente kennt, da hiermit die äußeren Kräfte vollständig bestimmt sind und die inneren Kräfte sich hieraus nach bekannten Regeln ermitteln lassen. Gewöhnlich werden zunächst die Stützenmomente berechnet und kann hierzu, wie weiter unten angegeben, entweder ein analytisches oder graphisches Verfahren in Anwendung kommen.

Aus diesen Stützenmomenten bestimmen sich alsdann die an einem beliebigen Balkenquerschnitt angreifenden Kräfte, d.i. die Scheerkraft (Querkraft) und das Biegungsmoment, wie folgt:

Es seien M_r–1 und M_r die an zwei benachbarten Stützen des kontinuierlichen Trägers auftretenden Momente; dann ist für den Querschnitt im Abstand x von der linken Stütze (Abb. 335) das Biegungsmoment

1)

die Querkraft

2)

Hierin bezeichnet das Biegungsmoment, die Querkraft im Querschnitt x für den an den Stützen unterbrochenen, also frei aufliegenden Träger.

Die Momente sind mit positiven und negativen Vorzeichen einzuführen, je nachdem sie den Träger nach unten oder oben zu biegen suchen. Trägt man die Größe des Moments für eine gegebene Belastung an jedem Querschnitt als Ordinate auf, so erhält man die Momentenlinie (Abb. 336), welche wie Gleichung 1) zeigt, aus jener für den frei aufliegenden Träger hervorgeht, wenn man zu dieser die Abscissenachse so legt, daß an den Stützen die Momente M_r–1 und M_r entstehen.[462] Ebenso folgt die Linie der Querkräfte aus jener für den einfachen Träger, wenn die Abscissenachse um die Größe

parallel verschoben wird (Abb. 337).

Der Stützendruck in A wird aus

3)

erhalten, wenn M_r–2 das Moment an der vorhergehenden Stütze und den Druck in A bezeichnet, der auftreten würde, wenn die beiderseitig angrenzenden Felder l_r–1 und l_r mit einfachen Trägern überspannt sind.

Aus Gleichung 1) und aus Abb. 336 folgt, daß die Momente für den kontinuierlichen Träger kleiner als jene für den einfachen Träger werden, sobald die Stützenmomente negative Werte annehmen. Dies ist für ein belastetes Feld bei unnachgiebigen Stützen immer der Fall.

I. Zur Berechnung der Stützenmomente muß auf die elastischen Formänderungen des Trägers eingegangen werden. Es genügt hierbei in der Regel, nur die Wirkung der Biegungsmomente in Betracht zu ziehen und jene der Schubkräfte zu vernachlässigen. Für einen massiven Balken ergibt sich zwischen den Momenten, die an drei benachbarten Stützen auftreten, folgende Beziehung:

4)

Die Größen α, β, γ sind Zahlenkoeffizienten, die für jedes Feld aus den veränderlichen Querschnittsträgheitsmomenten , mit Annahme eines beliebigen konstanten ₀, aus nachstehenden Gleichungen zu rechnen sind:

Ebenso sind für jedes Feld die Größen N_a und N_b durch die Gleichungen bestimmt:

Die durch 4) ausgedrückte Beziehung kann am einfachsten aus dem Satz von der kleinsten Formänderungsarbeit oder aus der Bedingung

abgeleitet werden.

Für Balken von durchwegs gleichem Querschnitte wird mit = ₀ in jedem Felde α = β = γ = 1 und es bedeuten für jedes Feld

die statischen Momente der sog. einfachen Momentenfläche (Momente für den einfachen frei aufliegenden Träger) bezogen auf die linke, bzw. rechte Stützenlotrechte.

Durch Anwendung der Gleichung 4) der Reihe nach auf die 1. 2. 3. .... Stütze erhält man für einen Träger mit konstantem Querschnitte und für freie Auflagerung auf der Endstütze, also mit M₀ = 0 das nachstehende System von Gleichungen, welche als die Clapeyron'schen Momentengleichungen bekannt sind:

5)

Die Auflösung dieser Gleichungen, deren ebensoviele aufgestellt werden können als Zwischenstützen vorhanden sind, führt zur Kenntnis der Werte der Stützenmomente.

Für die Größen N_a und N_b ergeben sich für bestimmte Belastungsfälle die nachstehenden Ausdrücke:

a) Einzellast G in der Entfernung x von der linken Stütze

6)

wonach sich die Werte berechnen:[463]

Werden hiermit die Stützenmomente für eine über den Träger wandernde Einzellast berechnet und ihre Größen als Ordinaten an den Lastangriffstellen aufgetragen, so erhält man die Einflußlinien der Stützenmomente, aus denen sich leicht auch jene für einen beliebigen Querschnitt nach 1) ableiten läßt.

b) totale gleichmäßige Belastung mit p für die Längeneinheit

7)

c) Gleichmäßige Belastung einer Strecke x von der linken Stütze aus

8)

wonach die Werte der nachstehenden Tabelle berechnet sind:

Mit diesen Gleichungen sind eigentlich für alle möglichen Belastungsverhältnisse die Stützenmomente und demzufolge nach den Gleichungen 1) – 3) auch die Momente und Querkräfte für jeden Querschnitt bestimmt.

II. Belastung bloß eines einzigen Feldes.

Für die unbelasteten Felder ist N_a = N_b = 0, sohin auch die rechte Seite der Gleichungen 5 gleich Null. Hieraus ergibt sich:

1. die Stützenmomente in den nicht belasteten Feldern sind abwechselnd positiv und negativ;

2. sie nehmen vom belasteten Feld gegen die Enden hin ab, und

3. sie stehen in einem konstanten Verhältnis zueinander, wie immer auch die Belastung des einen Feldes beschaffen sein möge. Bezeichnet x_m = –M_m/M_m–1 das Verhältnis der Momente an der m. und (m – 1). Stütze so ist

Hieraus folgt, daß die Momente in einem unbelasteten Feld durch eine gerade Linie dargestellt werden, die durch einen bestimmten, in seiner Lage nur von dem Verhältnis der Spannweiten abhängigen Punkt hindurchgeht (Abb. 338). In jedem Feld bestehen zwei solcher Punkte F und F', die abwechselnd zur Geltung kommen, je nachdem das belastete Feld rechts oder links von dem betreffenden Feld gelegen ist; man nennt sie Fixpunkte. In den Endfeldern sind die Endstützen zugleich Fixpunkte.

Die Fixpunkte lassen sich entweder durch Rechnung oder durch Konstruktion bestimmen. Letztere kann nach Abb. 341, wie folgt, durchgeführt werden. Man teile jede Spannweite in drei Teile, verschränke dann die neben jeder Stütze gelegenen Dritteile derart, daß HL = DG gemacht wird, und ziehe durch den bereits bekannten Fixpunkt F_r der Spannweite CD eine beliebige Gerade F_r M. Die weitere, aus Abb. 341 ersichtliche Konstruktion, die in dem Ziehen der Linien NDP und MP besteht, liefert den Fixpunkt F_r + 1 in der Spannweite DE. Man kann hiernach einmal von der einen, dann von der andern Endstütze ausgehend sämtliche Fixpunkte bestimmen.

Hinsichtlich der Querkräfte ist zu erwähnen, daß diese in den unbelasteten Feldern konstant und abwechselnd positiv und negativ werden (Abb. 339).

Es sei bloß das r-te Feld belastet (Abb. 340), dann lauten die Gleichungen zur Bestimmung der daselbst auftretenden Stützenmomente nach 5)

Aus diesen beiden Gleichungen sind die Stützenmomente M_r–1 und M_r zu berechnen, da die Momente M_r–2 und M_r+1 dazu in konstantem, durch die Fixpunktabstände gegebenem Verhältnisse stehen.

Es läßt sich nachweisen, daß für alle möglichen Belastungsfälle, d.h. für alle beliebigen[464] Lagen einer Einzellast im r_ten Feld die Momente an den angrenzenden Stützen M_r–1 und M_r stets negativ werden.

Bezeichnet man die Abstände der Fixpunkte im belasteten Feld von den nächstliegenden Stützen mit a und b und ihre gegenseitige Entfernung mit c (Abb. 242), und besteht die Belastung bloß aus einer Einzellast im Abstand ξ von der linken Stütze, so rechnen sich die Momente an den Stützen des belasteten Feldes mit

9)

Da die Fixpunktabstände a und b stets < 1/3 l sind, so bleiben obige Ausdrücke stets negativ.

Für die Momente in den Fixpunkten lassen sich folgende Ausdrücke aufstellen:

Wenn die Last G zwischen den beiden Fixpunkten gelegen ist:

10)

Wenn die Last außerhalb der Fixpunkte angreift

10a)

Da diese Ausdrücke stets positiv sind, so folgt, daß jede Last in dem betreffenden Feld in den beiden Fixpunkten, also auch in allen zwischen diesen gelegenen Querschnitten stets ein positives Moment hervorruft.

Es werden sonach die Stützenmomente stets negativ, die Momente in den Fixpunkten stets positiv und es müssen für jede Lage der Einzellast zwei zwischen den Stützen und den Fixpunkten gelegene Querschnitte bestehen, in denen das Moment Null wird.

Zur Berechnung der Querkräfte in dem belasteten Feld dient Gleichung 2), in die für M_r und M_r–1 die oben entwickelten Ausdrücke einzusetzen sind.

Man erhält für die Belastung durch eine Einzellast für die linksseitige Querkraft

11)

III. Ungünstigste Belastungsweise. Die ungünstigste Einwirkung einer mobilen (Verkehrs-) Belastung, diese mag stetig und gleichmäßig verteilt sein oder aus einem Zuge von Einzellasten bestehen, wird am besten mit Hilfe von Einflußlinien ermittelt.

Die Einflußlinien der Stützenmomente können nach den Gleichungen 9) berechnet werden und läßt sich daraus nach Gleichung 1) dann auch die Einflußlinie des Momentes in einem beliebigen Querschnitt ableiten.

Der allgemeine Verlauf dieser Einflußlinien ist aus Abb. 343 ersichtlich. Man erkennt daraus,[465] daß jedem Querschnitte positive und negative Beitragstrecken entsprechen, die zu belasten sind, um das größte + M oder – M zu erhalten. So sind für die Querschnitte (P₁) zwischen den Fixpunkten die Felder abwechselnd voll zu belasten; für einen Querschnitt außerhalb der Fixpunkte (P₂) ist das betreffende Feld dagegen nur teilweise zu belasten und ist die Belastung der übrigen Felder derart anzunehmen, daß an das belastete Ende des fraglichen Feldes ein unbelastetes Feld und an das unbelastete Ende ein belastetes Feld stößt und daß im weiteren immer ein belastetes Feld mit einem unbelasteten Felde abwechselt.

Für das größte (negative) Stützenmoment sind die beiden an die Stütze angrenzenden Felder voll, die übrigen Felder abwechselnd zu belasten.

Die Einflußlinie der Querkräfte, die sich aus jener der Stützenmomente nach Gleichung 2) ableiten läßt (Abb. 344), zeigt, daß jede zwischen dem beliebigen Querschnitte Q und der nächstgelegenen rechten Stütze angreifende Last in ersterem eine positive Querkraft hervorruft. Die Querkraft wird hingegen negativ, wenn die Last zwischen dem Querschnitt und der linken Stütze angreift. Die übrigen Felder sind wieder abwechselnd zu belasten.

IV. Größtwerte der Momente und Querkräfte.

a) Totale gleichmäßige Belastung mit g f. d. Längeneinheit (Eigengewichtsbelastung).

Sind M_r–1 und M_r die für diese Belastung berechneten Stützenmomente für das beliebige r-te Feld, so wird im Querschnitt, dessen Abstand x von der linken Stütze ist, nach Gleichung 1) und 2) das Moment

die Querkraft

Die Querkraft wird sonach durch eine gerade Linie, das Moment durch eine Parabel dargestellt. (In Abb. 345 und 346 die schwächer gezogenen Linien.)

b) Zufällige Last. Für diese gelten die unter III angeführten ungünstigsten Belastungsannahmen. Hinsichtlich der Momente hat man zwischen den Querschnitten, die innerhalb und außerhalb der beiden Fixpunkte der betreffenden Spannweite gelegen sind, zu unterscheiden. Für erstere ist abwechselnde Vollbelastung der Felder maßgebend.

Unter Annahme einer über die Längeneinheit gleichmäßig verteilten Verkehrsbelastung p berechnet sich

Natürlich sind in diesen beiden Formeln M_r und M_r–1 nicht identisch, sondern für jede unter der Voraussetzung der ungünstigsten Belastung zu bestimmen. Das positive und negative Maximum ergänzen sich zur totalen Belastung, so daß man, wenn die Wirkung der letzteren bekannt ist, nur eines der beiden Maximalmomente zu rechnen hat. Die positiven[466] Größtwerte liegen wieder auf einer Parabel, die negativen auf einer geraden Linie.

Für die außerhalb der Fixpunkte befindlichen Querschnitte wird

Hierin bezeichnet ξ die Länge der Belastungsstrecke im betreffenden Felde, die entweder den Einflußlinien zu entnehmen oder durch Rechnung zu bestimmen ist.

Die Größtwerte der Querkräfte folgen aus

M_r und M_r–1 sind natürlich auch hier wieder für das positive und negative Maximum nicht identisch, sondern es ergänzen sich beide Werte zu dem Moment bei totaler Belastung. Die maximale Querkraft wird durch Kurven dargestellt, die wenig von Parabeln abweichen, da das zweite Glied in den obigen Ausdrücken zwar mit x veränderlich, aber gegen das erste Glied nur klein ist.

Träger über zwei Felder.

Bei gleichen Feldern erhält man für das Moment an der Mittelstütze allgemein den Ausdruck

Für totale Belastung beider Felder wird sonach

Die Drücke auf die drei Stützen werden 3/8gl, 5/4gl und 3/8gl. Der Abstand der Fixpunkte von der Mittelstütze wird 1/5l.

Die größten Momente durch die zufällige Last in den Querschnitten zwischen Fixpunkt und Endstütze berechnen sich aus

und in den Querschnitten zwischen den Fixpunkten und der Mittelstütze

Die Größtwerte der Querkräfte folgen aus

In Abb. 345 und 346 sind die Größtwerte der Momente und Querkräfte dargestellt und entsprechen die stark gezogenen Linien der Gesamtwirkung[467] des Eigengewichts und der zufälligen Belastung bei einem Verhältnis g : p = 1 : 2.

Träger mit drei Feldern.

Die Spannweite der beiden äußeren Felder sei l₁, jene des Mittelfelds l = ml₁; dann lauten die Ausdrücke für die Stützenmomente bei beliebiger Belastung

Für totale gleichmäßige Belastung mit g f. d. Längeneinheit wird

Ist nur das Mittelfeld vollständig mit p f. d. Längeneinheit belastet, so werden die Stützenmomente

Für diese Belastung entstehen die positiven Maximalmomente im mittleren Teil des Mittelfelds, sowie die negativen Maximalmomente in den äußeren Teilen der Seitenfelder.

Sind bloß die beiden Seitenfelder belastet, so werden die Stützenmomente

Der Druck auf die Endstütze erreicht für diese Belastung seinen Größtwert

während der größte Druck auf die Mittelstütze bei Belastung der beiden angrenzenden Spannweiten stattfindet, u. zw.

In Abb. 347 und 348 sind die Größtwerte der Momente und Querkräfte für ein Verhältnis der Spannweiten l₁ : l = 1 : 1, 2 dargestellt und entsprechen die stark gezogenen Linien der Gesamtwirkung des Eigengewichts und der zufälligen Last bei einem Verhältnis g: p = 1 : 2.

Aus diesen Darstellungen werden die folgenden Eigentümlichkeiten des kontinuierlichen Trägers ersichtlich: In den mittleren Teilen der Mittel-, sowie in den äußeren Teilen der Endfelder treten bloß positive, an den Zwischenstützen bloß negative Momente auf. Dazwischen liegen Strecken, in denen die Momente sowohl positiv, als negativ werden können, wo also in den Gurten des kontinuierlichen Trägers Zug und Druck wechseln. Auch die Querkräfte wechseln in einer gewissen Strecke ihr Vorzeichen, d.h. es treten daselbst positive und negative Querkräfte auf. Diese Strecke, deren Länge von dem Verhältnis des Eigengewichts zur zufälligen Last abhängig ist, liegt bei symmetrischer Anordnung in der Mitte des Mittelfelds, während sie in den Seitenfeldern gegen die Endstützen gerückt erscheint.

V. Einfluß einer Änderung in der Höhenlage der Stützen.

Werden bei einem kontinuierlichen Träger einzelne Zwischenstützen gesenkt, so vergrößern sich daselbst die positiven Momente in den an die betreffende gesenkte Stütze angrenzenden Feldern, während sich die negativen verringern. Das Umgekehrte tritt ein, wenn eine Stütze gehoben wird. Beträgt beispielsweise bei einem Träger mit drei Feldern die Senkung der beiden Mittelstützen ± δ, so entsteht hierdurch daselbst ein Moment

wenn E den Elastizitätskoeffizienten und das Trägheitsmoment des Balkenquerschnitts bezeichnet. Die durch die Senkung der Stützen an den übrigen Stellen entstehenden Momente rechnen sich hiermit nach Gleichung 1). Setzt man als Näherungswert für das mittlere Moment, aus dem sich der Balkenquerschnitt bei einer Inanspruchnahme s berechnet,[468]

und hiernach

worin q = g + p die Belastung f. d. Längeneinheit und h die Trägerhöhe bezeichnet, setzt man ferner das größte von der Belastung hervorgerufene Stützenmoment näherungsweise M₁ = 0∙12 ql², so folgt mit h = 0∙1 l und für Eisenträger mit

als Näherungsausdruck für die Änderung des Stützenmomentes infolge Stützensenkung

Beträgt sonach beispielsweise die Stützensenkung δ = 0∙0002 l, so vermindert sich das Stützenmoment um rund 2∙5%.

VIII. Einfluß einer ungleichen Erwärmung.

Wenn die beiden Gurtungen eines kontinuierlichen Trägers verschieden erwärmt werden, was leicht möglich ist, wenn die eine Gurtung durch die Fahrbahn gedeckt, während die andere der direkten Sonnenbestrahlung ausgesetzt ist, so hat der Träger im allgemeinen das Bestreben, sich zu krümmen und infolgedessen entweder sich von den Zwischenstützen abzuheben oder im vermehrten Maß auf diese zu drücken. Hierdurch werden die für eine gleichmäßige Temperatur berechneten äußeren und inneren Kräfte verändert. Besitzt der Obergurt eine höhere Temperatur als der Untergurt, so wird der Träger sich nach aufwärts krümmen, sich also von den Stützen abzuheben suchen. Die positiven Biegungsmomente werden dann vergrößert, die negativen Momente, desgleichen die Drücke auf die Zwischenstützen werden vermindert. Das Entgegengesetzte findet statt, wenn der Untergurt wärmer als der Obergurt ist.

Bei einer Temperaturdifferenz ± t zwischen Ober- und Untergurt, dem Ausdehnungskoeffizienten α des Schmiedeisens, und bei der Trägerhöhe h berechnen sich die durch die ungleiche Erwärmung hervorgerufenen Stützenmomente aus einem Gleichungssystem von der Form

Bei zwei gleichen Feldern würde hiernach das Moment an der Mittelstütze

und die hiervon herrührende Gurtspannung angenähert

Für t = ± 10° wird σ = ± 180 kg für ein Quadratzentimeter, d.i. bereits mehr als 20% der Beanspruchung durch die Belastung. Über die Vor- und Nachteile der kontinuierlichen Träger bei Brückentragwerken s. Eiserne Brücken.

Melan.