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Balken, einfache

[518] Balken, einfache. Als einfache Balken oder einfache Balkenträger bezeichnet man solche Balken (s.d.), die sich über nur eine Oeffnung erstrecken, also nicht mehr als zwei Stützen haben. Die wichtigsten Formeln für dieselben sind unter den Schlagworten Balken, Biegung, Einsenkung, Elastische Linie gegeben, und zwar für beliebige Belastung, wonach mit Rücksicht auf das unter Belastung der Träger Gesagte auch speziellere Formeln entnommen werden können. Für die häufigst vorkommenden Fälle sind die Ausdrücke in der Tabelle auf S. 520 und 521 zusammengestellt. Die Lagerung und Einspannung ist im spannungslosen Zustand mit horizontaler oder doch nahezu horizontaler gerader Achse gedacht (horizontale Balkenträger, s. Biegung I). Zu beachten ist, daß auch bei eingespannten Enden eine genügende Nachgiebigkeit eines Auflagers in horizontaler Richtung vorhanden sein muß, da sonst eine nicht zu vernachlässigende Horizontalreaktion H der Widerlager entsteht, womit die Gleichungen für Balken, die H = 0 voraussetzen, ihre Gültigkeit verlieren (s. Bogen). Beim Ansatze der Einsenkungen f sind die Beiträge der Vertikalkraft V_x, die häufig unberücksichtigt bleiben (s. jedoch z.B. Elastizitätsmodul), in einer besonderen Kolumne beigefügt. G bedeutet den Schubelastizitätsmodul, über den Koeffizienten[518] der Schubwirkung k s. Biegung I. In den Fällen XII und XIII ändert sich mit der Berücksichtigung von V_x auch der Ort der größten Einsenkung ε und die Werte von M, V, V' etwas, doch bietet die genaue Berechnung hier wenig Interesse. Liegt in den für beliebige symmetrische Belastung gültigen Fällen IV, VIII eine Last P gerade in der Trägermitte, so ist dem Begriffe der Symmetrie entsprechend P_z = P/2. Soll in den Fällen II–IV, VI–VIII, X–XI und XIII neben den konzentrierten Lasten eine auf den Balken gleichmäßig verteilte Last von u pro Längeneinheit berücksichtigt werden (Eigengewicht), so hat man den angesetzten Werten von M, M', V, V', M_μ, M_x, V_x, f noch die in den gleichen Kolumnen unter I, V, IX, XII gegebenen Ausdrücke beizufügen. Vgl. [1], III. Abschnitt, [2], [4], S. 96.

Gewöhnliche Balkenträger. Wir wollen den einfachen Balken mit beiderseits frei drehbaren Enden, besonders im Hinblicke auf bewegte Lasten, noch etwas weiter behandeln. Es seien M_x, B_x, B die Beiträge des Eigengewichts oder allgemeiner der festen Last allein zu M_x, V_x, V. Wirken daneben beliebige Lasten P₁ P₂, ... bei Abszissen a₁ a₂, ... am Träger (Fig. 1), so hat man (s. Balken):

Ist die feste Last mit g pro Längeneinheit auf den Träger gleichmäßig verteilt, dann sind

Wenn jedoch nur ein Teil der festen Last, von h pro Längeneinheit, gleichmäßig verteilt ist (z.B. das Eigengewicht des betrachteten Trägers selbst), während die festen Lasten G₁, G₂, ... bei e₁, e₂, ... konzentriert angreifen (z.B. das durch Querträger übertragene Eigengewicht der übrigen Konstruktion), so gelten:

Gleichmäßig verteilte bewegte Last. Dieselbe möge auf beliebige Strecken wirken können und pro Längeneinheit p betragen. Dann sind die Grenzwerte von M_x:

und die Grenzwerte vom V_x:

also beispielsweise die Grenzwerte von V₀ = V (Stützenreaktion bei 0):

Ist auch die feste Last gleichmäßig auf den Träger verteilt, so tritt das größte während der Bewegung an irgend einer Stelle vorkommende Moment, das sogenannte absolute Maximalmoment, in der Trägermitte ein, die größte Vertikalkraft an den Trägerenden. Ihre Werte sind mit q = g + p:

M_m = ql²/8,

V₀ = V = ql/2.

9.

Wird die gleichmäßig verteilte Last p an Stelle konzentrierter Lasten eingeführt, so können hier wie in andern Fällen für verschiedene Grenzwerte verschiedene p zu wählen sein (s. Lastäquivalente).

Bewegte Radlastzüge. Sind auf dem Träger verschiedene Systeme von Lasten P in festen Entfernungen möglich (Lastzüge), so ergeben sich die Grenzwerte wie folgt: a) Momente M_x. Man bringe einen Lastzug I, der möglichst große Lasten möglichst dicht um ein Rad O enthält, in solcher Richtung auf den Träger, daß, wenn O über x steht, die ungünstigste der Belastungen zu beiden Seiten von O auf die längste der Trägerstrecken zu beiden Seiten von x trifft (bildet z.B. eine Lokomotive das Lastsystem, so fährt diese bei Berechnung der ersten Trägerhälfte mit dem Schlote vorn von l nach 0 hin), bestimme die Stellung dieses Zugs vom Gesamtgewicht so, daß

(wonach diejenige Last P über x stehen muß, bei der die Summe der von 0 nach l hin addierten [521] Lasten des Zugs den Wert

durchschreitet), und berechne für diese Stellung den ersten Grenzwert von M_x nach 1. Der zweite Grenzwert ist M_x = M_x. Die Stellung des Lastzugs kann auch graphisch ermittelt werden (Fig. 2): Man trage die P der Reihe nach von l aus senkrecht auf, verbinde 0 mit dem Endpunkte l₁ derselben, errichte in x ein Perpendikel bis zum Schnitte x₁ mit 0l₁, und ziehe von x₁ aus eine Parallele zu 0l nach ll₁ hin. Die Last, die getroffen wird, muß über x stehen. – b) Vertikalkräfte V_x. Ein Lastzug II, der möglichst große Lasten möglichst dicht beim Vorderrad O enthält, sei in der Richtung von l nach 0 hin fahrend mit O bei x angelangt. Für diese Stellung entsteht der erste Grenzwert:

Derselbe Lastzug, in der Richtung von 0 nach l fahrend mit dem Vorderrad bei x angelangt, liefert den zweiten Grenzwert:

Beispielsweise ergeben sich die Grenzwerte von V₀ = V bei Belastung durch Zug II von 0 bis l, Vorderrad O bei 0, nach 3., und für Eigengewicht allein V = B. – d) Absolutes Maximalmoment. Die feste Last möge mit g pro Längeneinheit als gleichmäßig verteilt auf die Trägerlänge gelten. Um das größte beim Befahren überhaupt (an irgend einer Stelle) vorkommende Moment M_x zu erhalten, bringt man einen Lastzug I (s. oben) in beliebiger Richtung auf den Träger und bestimmt diejenige Last bei P_m, der die Summe der von 0 nach l hin addierten Radlasten die halbe Gesamtlast

des Zugs auf dem Träger durch schreitet. Es ist dann die Abszisse x = m des absoluten Maximalmoments (Bezeichnungen s. Fig. 3):

und der Wert desselben:

Genau genommen hat man noch zu kontrollieren, ob beim Ueberschreiten von x = m durch P auch die Bedingung 10 erfüllt ist, was jedoch in praktischen Fällen stets zutrifft. – In vielen Fällen, insbesondere bei Schienenträgern, finden nur zwei Räder gleichzeitig auf dem Träger Platz. Wählt man dann die größte Radlast als P₁, Fig. 4, so erhält man Ort und Wert des absoluten Maximalmoments ohne weiteres:

Einfluß der Zwischenträger. Alle vorgeführten Berechnungen der Grenzwerte von M_x, V_x gelten zunächst für den Fall, daß die Verkehrslast direkt auf die zu berechnenden Träger wirkt. Wird dieselbe durch ein System von Zwischenträgern (Längsträger und Querträger) auf die fraglichen Träger übertragen, so genügt für praktische Zwecke folgendes Verfahren: a) Berechnung der Grenzwerte von M_x für die Knotenpunkte (Einmündungsstellen der Querträger) und der Stützenreaktionen V, V' ganz als wenn die bewegten Lasten direkt auf die Hauptträger wirkten, wobei man sich gewöhnlich auch das ganze Eigengewicht auf diese gleichmäßig verteilt denken wird. – b) Herstellen der Kurve der max M_x (und wenn man will, auch der min M_x = M_x) durch Auftragen der erhaltenen Werte als Ordinaten bei ihren x und Verbinden je zweier aufeinander folgender Endpunkte durch gerade Linien (in Fig. 5 ausgezogen). – c) Herstellen der Linien der positiven und negativen max V_x durch Auftragen von max V und min V = B bei 0 sowie von –max V' und –min V' = –B' bei l, und Verbinden der Endpunkte von max V und –min V'; sowie von min V und –max V, durch gerade Linien (in Fig. 6 ausgezogen). – Vorstehendes Verfahren liefert die Grenzwerte der M_x [522] in den Knotenpunkten und der Stützenreaktionen V, V' genau, die Grenzwerte der übrigen M_x, V_x im allgemeinen zu ungünstig, wie die Fig. 5 und 6 zeigen, in denen für den zugrunde liegenden Fall die genauen Linien punktiert, die ohne Vorhandensein von Zwischenträgern gültigen strichpunktiert angedeutet sind. Die verhältnismäßig großen Abweichungen bei den Linien der max V_x sind mit Rücksicht auf die Verwendung dieser Linien gleichgültig (genauere Berechnungen s. [5], §§ 37, 38, 40, 42, 44, sowie in [7], A 13, 14, B 10, worin jedoch die für max V_x in den Knotenpunkten gemachte Ausnahme nicht zutrifft). Anstatt die Linie der max M_x zu verzeichnen, kann man die max M_x an beliebigen Stellen auch durch Interpolation aus den für die Knotenpunkte berechneten erhalten, womit die Veränderlichkeit, ebenfalls geraden Linien entsprechend, angenommen wird. Aehnlich würden den Geraden für max V_x entsprechen:

worin V, V' die Stützenreaktionen. Das absolute Maximalmoment tritt in dem gewöhnlichen Falle symmetrischer fester Last bei dem der Trägermitte zunächst liegenden Knotenpunkte ein, die äußersten Grenzwerte von V_x bleiben diejenigen von V₀ = V und V_l = – V'.

Näheres und Beispiele über bewegte Lasten s. insbesondere [2], Kap. III–V, und [7], S. 18–28, 44–52, für Balken mit beiderseits festgespannten Enden [4], S. 108, über das absolute Maximalmoment [2], Kap. IV, und [7], S. 25, Einfluß der Zwischenträger [2], Kap. V, und [7], S. 44–52.

Literatur: [1] Weyrauch, Allgemeine Theorie und Berechnung der kontinuierlichen und einfachen Träger, Leipzig 1873, S. 67, 159. – [2] Weyrauch, Die Maximalmomente einfacher Träger bei festen und mobilen Lastsystemen, Zeitschr. d. Arch.- u. Ing.-Vereins zu Hannover 1875, S. 467. – [3] v. Ott, Vorträge über Baumechanik, II. Teil, 1. Lieferung, Prag 1880, S. 136. – [4] Weyrauch, Aufgaben zur Theorie elastischer Körper, Leipzig 1885, S. 108. – [5] Winkler, Theorie der Brücken, 1. Heft, Wien 1886, S. 41. – [6] Müller-Breslau, Die graphische Statik der Baukonstruktionen, I, Leipzig 1887, S. 100. – [7] Weyrauch, Beispiele und Aufgaben zur Berechnung der statisch bestimmten Träger für Brücken und Dächer, Leipzig 1888, S. 14–52. – [8] Handbuch der Ingenieurwissenschaften, Bd. II, VIII. Kapitel: Theorie der eisernen Balkenbrücken (von Steiner), Leipzig 1901, S. 287. – [9] Ostenfeld, Techn. Statik, Leipzig 1904, S. 23.

Weyrauch.

Balken, einfache. (Graphische Berechnung.)

Zur graphischen Bestimmung der Auflagerdrücke, Querkräfte und Biegungsmomente eines einfachen Balkenträgers wird folgender Weg eingeschlagen: Man setzt (Fig. 7) die auf dem Balken ruhenden Lasten P₁ bis P₄ mittels eines Kräfte- und eines Seilpolygons (s.d.) zusammen, ganz so, als ob deren Mittelkraft bestimmt werden sollte. Dann verbindet man den Punkt A₁, in dem die erste Seilpolygonseite von der Auflagerlinie A geschnitten wird, mit dem Punkte B₁, in dem die letzte Seite von der Auflagerlinie B geschnitten wird. Die Verbindungslinie A₁B₁ heißt »Schlußlinie«. Zieht man hierauf durch den Pol O des Kräftepolygons einen zur Schlußlinie parallelen Strahl, den »Hauptstrahl«, so findet man die Größe der Auflagerdrücke A und B. Die Richtigkeit dieser Lösung folgt aus dem Satze, daß Kräfte in der Ebene im Gleichgewichte stehen, wenn sowohl ihr Kräftepolygon als ihr Seilpolygon geschlossen ist (vgl. Gleichgewichtsbedingungen). In der Tat bilden die vier gegebenen Kräfte zusammen mit den beiden Auflagerdrücken ein geschlossenes Kräftepolygon. Ebenso ist das Seilpolygon eine geschlossene Figur; denn seine sechs Seiten laufen der Reihe nach parallel zu den sechs Strahlen aus O. Anstatt den Hauptstrahl zu ziehen, kann man auch die beiden äußersten Seilpolygonseiten bis zu den gegenüberliegenden Auflagerlinien verlängern. Nennt man den Abschnitt auf der B-Linie a, so verhält sich a: l = A: H, folglich ist der Auflagerdruck

A = Ha/l

und ebenso

B = Hb/l

Die Querkraft Q für den Balkenschnitt C ist gleich der Mittelkraft von A und P₁. Sie geht nach der Theorie des Seilpolygons durch den Schnittpunkt der diese Kräfte einschließenden Seilpolygonseiten, also durch den Punkt D. Größe und Richtung werden aus dem Kräftepolygon gefunden. Ihr statisches Moment in bezug auf den Schnitt C, das »Biegungsmoment«, das in diesem Schnitte den Balken angreift, ist nach der Theorie der parallelen Kräfte (s. Parallelkräfte)[523] gleich der Polweite H mal der Ordinate m. – Verschiebt man den Schnitt von A bis nach B, so ändert sich die Querkraft sprungweise. Ihr Wechsel wird durch die staffelförmige Linie A₂ B₂ übersichtlich dargestellt. Die Ordinate m beschreibt hierbei die ganze Fläche zwischen Seilpolygon und Schlußlinie, weshalb diese Fläche »Momentenfläche« genannt wird. Das Biegungsmoment wird am größten, wenn der Querschnitt C unter die Last P₂ gelangt (»Maximalmoment«), denn hier erscheint das größte m. – Das beschriebene Verfahren zur Bestimmung der Auflagerdrücke, Querkräfte und Biegungsmomente wird auch angewendet, wenn der Balken überhängend ist (Fig. 8). Auch hier wird der Punkt A₁, in dem die erste Seilpolygonseite die Auflagerlinie A schneidet, mit dem Punkte B₁, in dem die letzte Seite die Auflagerlinie B schneidet, verbunden und zur Verbindungslinie (Schlußlinie) ein paralleler Strahl durch O gezogen. Das Biegungsmoment ist hier in der Nähe der Auflager negativ. Die staffelförmige Linie A₂ B₂ stellt dar, wie sich die Querkraft ändert, wenn sich der Schnitt von einem Ende des Balkens zum andern bewegt. – Ist die auf dem Balken ruhende Belastung eine verteilte, so geht das Seilpolygon in eine Seilkurve (s.d.) über (Fig. 9). Um für einen Balkenschnitt C die Lage und Größe der Querkraft zu finden, legt man lotrecht unter C die Tangente an die Seilkurve. Der Schnittpunkt dieser Tangente mit der Schlußlinie bestimmt die Lage der Querkraft und ein dazu paralleler Strahl durch O zusammen mit dem Hauptstrahl deren Größe und Richtung. Das Biegungsmoment für den Schnitt C ist wieder gleich H ∙ m. – Legt man an die Seilkurve eine zur Schlußlinie parallele Tangente und lotet deren Berührungspunkt M₁ hinauf, so findet man denjenigen Balkenschnitt M, für den das Biegungsmoment am größten wird (»Maximalmomentenschnitt«). Die Querkraft für diesen Schnitt liegt im Unendlichen und ist gleich null oder richtiger unendlich klein; sie ist ein Kräftepaar (s.d.). Wandert der Schnitt von A bis nach B, so wandert die Querkraft von A nach links ins Unendliche und gelangt von rechts her zurück nach B. Dabei nimmt sie der Größe nach stetig ab und geht für den Schnitt M durch den Nullwert, hat somit für Schnitte links und rechts von M entgegengesetztes Zeichen. Die Veränderlichkeit von Q wird durch die Kraftkurve A₂ B₂, dargestellt. Für gleichförmig verteilte Belastung geht die Seilkurve in eine Parabel, die Kraftkurve in eine Gerade über. Das größte Biegungsmoment ist gleich ¹/₈pl², die größte Querkraft gleich ¹/₂pl, wenn p die Belastung auf die Längeneinheit bedeutet.

Kurve der Maximalkräfte. Die Querkraft Q wird nach früher für einen gegebenen Balkenschnitt am größten, wenn der Balken bloß auf der einen Seite des Schnittes belastet ist und die schwersten Lasten möglichst nahe am Schnitte stehen. Sollen die größten Kräfte gefunden werden, die sich bei dem Balken AB ergeben, wenn zwei fünfachsige Lokomotiven hintereinander[524] von rechts nach links über den Balken fahren, so kehrt man die Lastenreihe um, stellt die erste Last unter B und zeichnet hierzu das Seilpolygon A₁ B₁ (Fig. 10). Dann stellt für die wirkliche Laststellung C₁ B₁ C₂ das (umgekehrte) Seilpolygon dar. Nach früher ist die Ordinate a mit H/l multipliziert, gleich dem in C₂ auftretenden Auflagerdruck. Dieser ist jedoch im vorliegenden Falle mit der Querkraft identisch. Folglich ist die größte Querkraft für den Schnitt C gleich (Ha)/l und das Seilpolygon A₁ B₁ die »Kurve der Maximalkräfte« für eine fortschreitende Lastenreihe. Wird H gleich l gemacht, so kann man die Ordinaten a unmittelbar als Kräfte abgreifen.

Bei gleichförmig verteilter Last geht die Linie A₁ B₁ in eine Parabel über, deren Scheitel in B₁ liegt und deren Anfangsordinate gleich ¹/₂pl ist.

Kurve der Maximalmomente. Das Biegungsmoment wird nach früher für einen gegebenen Balkenschnitt am größten, wenn der Balken vollständig belastet ist und die schwersten Lasten möglichst nahe am Schnitte stehen. Dabei hat stets eine der Lasten über dem Schnitte zu stehen. Wir nennen diese die »maßgebende« Last. Im allgemeinen kann nur durch Versuche bestimmt werden, welche Last die maßgebende ist. Um das größte Biegungsmoment zu finden, zeichnet man für die gegebene Lastenreihe ein Seilpolygon (Fig. 11) und legt die Schlußlinie A B₁ derart hinein, daß der dem Schnitte C entsprechende Punkt lotrecht unter diejenige Last zu liegen kommt, die man als die maßgebende vermutet. Die Ordinate m stellt dann mit H multipliziert das Biegungsmoment für diesen Belastungsfall dar. Hierauf zieht man, indem man C₁ unter eine der andern Lasten bringt, eine zweite Schlußlinie, hierauf eine dritte, vierte u.s.w. und prüft mit dem Zirkel, welche Schlußlinie das größte m liefert. Trägt man die für verschiedene Schnitte gefundenen größten Momente als Ordinaten auf und verbindet deren Endpunkte, so erhält man die »Kurve der Maximalmomente«.

Das größte aller Maximalmomente tritt nach früher ein, wenn die Balkenmitte von der maßgebenden Last und von der Mittelkraft sämtlicher Lasten gleichweit entfernt ist (Fig. 12). Nach dieser Regel läßt sich dieses Moment leicht finden, sobald die maßgebende Last bekannt ist. Vielfach läßt sich diese sofort erkennen; in andern Fällen muß sie durch Probieren gefunden werden.

Der größte Druck, den die Längsträger einer Brücke auf einen Querträger ausüben, tritt ein, wenn eine der mittleren Lasten über dem Querträger steht (Fig. 13). Seine Größe wird gefunden, wenn man im Seilpolygon, den beiden anstoßenden Längsträgern entsprechend, zwei Schlußlinien, und im Kräftepolygon zwei zu diesen parallele Strahlen zieht. Ob die Last 3 oder eine der andern maßgebend ist, wird durch Probieren bestimmt. – Zu derselben Laststellung gelangt man, wenn man die Aufgabe stellt, für die Mitte eines Balkens von der doppelten Länge das größte Biegungsmoment zu finden, was mit Hilfe der Schlußlinie A₁ C₁ geschieht. Denn je größer die Ordinate m, desto größer die Kraft B. Kennt man daher das größte Moment M, das die gegebenen Lasten in der Mitte des Balkens AC hervorrufen, so läßt sich hieraus die Kraft B ableiten, und zwar ist, da m : l = ¹/₂ B : H einfach B = (2Hm)/l = (2M)/l.

Ueber die graphische Berechnung von Balken mit mehr als zwei Stützpunkten s. Gelenkträger und Balken, durchlaufende.

(W. Ritter) Roth.

Fig. 1.

Fig. 2.

Fig. 3.

Fig. 4.

Fig. 5., Fig. 6.

Fig. 7.

Fig. 8.

Fig. 9.

Fig. 10.

Fig. 11.

Fig. 12., Fig. 13.