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Maxima und Minima [1]

[347] Maxima und Minima, die größten und kleinsten Werte einer Funktion.

Ist y = f (x) eine Funktion von x, so kann man nach einem Wert a von x fragen, der die Funktion y zu einem Maximum oder Minimum macht, d.h. zu einem Wert, welcher größer oder kleiner ist als die benachbarten. Die Bedingung für einen eminenten Wert, d.h. für ein Maximum oder Minimum, ist f' (x) = 0. Dabei tritt ein Maximum oder Minimum ein, je nachdem (für das betreffende x)

Ist

so liegt kein eminenter Wert vor; ist aber auch f''' (x) = 0, so hat man ein Maximum oder Minimum, je nachdem f'''' (x) 0. Allgemein: ein Wert von x macht f(x) zu einem eminenten Wert, wenn die erste nicht verschwindende Ableitung von gerader Ordnung ist; man hat ein Maximum oder Minimum, je nachdem die betreffende Ableitung negativ oder positiv ist.

Eine Funktion z = f (x, y) erreicht einen eminenten Wert für solche Werte von x und y, welche den Gleichungen

genügen; doch muß außerdem ∂²f/∂x² ∂²f/∂y² – (∂²f/∂x∂y)² > 0 sein, und man hat alsdann Maximum oder Minimum, je nachdem ∂²f/∂x² 0.

Um das Maximum oder Minimum einer Funktion f (x y z ...) von n Veränderlichen, zwischen welchen r Nebenbedingungen φ (x y z ...) = 0; ψ (x y z ...) = 0 ... bestehen, zu bestimmen, sucht man das Maximum oder Minimum der Funktion f + λ₁ φ + λ₂ ψ + ... zu ermitteln. Aus den n Bedingungsgleichungen eliminiert man die r Größen λ; die n – r Eliminationsgleichungen bestimmen zusammen mit den r Nebenbedingungen die n Veränderlichen.

Beispiel: Eminenter Wert von f (x, y), wenn φ (x, y) = 0. x und y bestimmen sich aus:

Maxima und Minima von Integralen s. Variationsrechnung.

Literatur: [1] Serret, Lehrbuch der Differentialrechnung, deutsch von Harnack, 2. Aufl., Leipzig 1897. – [2] Heilermann, J., Eine elementare Methode zur Bestimmung von größten und kleinsten Werten, Leipzig 1871. – [3] Martus, E., Maxima und Minima, 2. Aufl., Hamburg 1903. – [4] Maurer, A., Maxima und Minima, Berlin 1897.

Wölffing.