Aehnlichkeit

[79] Aehnlichkeit ist eine geometrische Verwandtschaft (vgl. Verwandtschaften, geometrische) zwischen ebenen Systemen unter sich und zwischen räumlichen Systemen. Die Aehnlichkeit tritt als spezieller Fall der Kollineation ebener und räumlicher Systeme auf.

Ist die Kollineation (s.d.) eine zenirische, und sind die Systeme eben, so ist Aehnlichkeit vorhanden, wenn die Kollineationsachse in unendlicher Ferne liegt; es sind dann auch die Gegenachsen unendlich fern. Entsprechende Gerade beider Systeme sind parallel und können gleich oder entgegengesetzt gerichtet sein; im ersten Falle spricht man von Aehnlichkeit der Systeme in ähnlicher Lage (s. Fig. 1), im zweiten Falle hat man Aehnlichkeit in inverser Lage. Das Kollineationszentrum 0 ist der Aehnlichkeitspunkt, und zwar der äußere im ersten, der innere im zweiten Falle. Das Verhältnis der Entfernungen entsprechender Punkte der ähnlichen Figuren ist für alle Punkte das nämliche und heißt das Aehnlichkeitsverhältnis. Die Winkel zwischen entsprechenden Seiten beider Figuren sind einander gleich. Dabei können die beiden ähnlichen Systeme in einer Ebene liegen oder aber in parallelen Ebenen (s. Fig. 1–3). Hebt man den zentrischkollinearen Zusammenhang auf, d.h. dreht man die eine Figur in ihrer Ebene um einen beliebigen Winkel, so bleibt die Aehnlichkeit bestehen, doch sind entsprechende Seiten nicht mehr parallel. Dreiecke sind z.B. ähnlich, wenn die Winkel des einen Dreiecks entsprechend gleich sind den Winkeln des andern Dreiecks. Kreise sind stets ähnliche Figuren; Ellipsen sind ähnlich, wenn sie gleiches Achsenverhältnis besitzen. Zwischen Hyperbeln besteht Aehnlichkeit bei dem nämlichen Asymptotenwinkel. Bei räumlichen, zentrischkollinearen ähnlichen Systemen liegen die Kollineationsebene sowie die Gegenebenen im Unendlichen. Entsprechende Begrenzungsflächen sind parallel und von ähnlichen Figuren begrenzt (s. Fig. 4). Zwischen den Abständen entsprechender Punkte vom Kollineationszentrum besteht das gleiche Verhältnis, das Aehnlichkeitsverhältnis. Man unterscheidet wieder äußeren und inneren Aehnlichkeitspunkt bei ähnlicher und inverser Lage der räumlichen Systeme. Die Aehnlichkeit bleibt bestehen, wenn das eine Raumgebilde beliebig gedreht, bezw. verschoben wird, doch gehen die Verbindungslinien entsprechender Punkte nicht mehr durch das Kollineationszentrum. Alle Kugeln sind ähnlich, ebenso alle Rotationshyperboloide mit einem Asymptotenkegel mit dem nämlichen Oeffnungswinkel. Jedes im verjüngten Maßstabe angefertigte Modell eines Körpers ist dem Originale ähnlich. Ist das Aehnlichkeitsverhältnis gleich der negativen Einheit, also gleich –1, so liegen entsprechende Punkte gleich weit von dem Aehnlichkeitspunkt bezw. dem Kollineationszentrum entfernt, d.h. entsprechende Gebilde liegen zu letzterem symmetrisch. Vgl. Involution und Projektion.