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Astroide

[325] Astroide (Astrois) nennt man eine zu den Hypocykloiden gehörige, nämlich beim Rollen eines Kreises vom Halbmesser c/4 innerhalb eines Kreises vom Halbmesser c entstehende rationale Kurve sechster Ordnung.

Ihre Gleichung ist: x^2/3 + y^2/3 = c^2/3 oder in rationaler Form (x² + y² – c²)³ + 27c²x²y² = 0. Sie kann auch durch die beiden Gleichungen

dargestellt werden, wo φ das Supplement des Winkels der Kurventangente gegen die x-Achse bedeutet und t = tg(φ/2) ist. Die Kurve ist symmetrisch zu den beiden Achsen und besitzt in den vier Punkten x = ± c, y = 0; x = 0, y = ± c Rückkehrpunkte erster Art, wobei die Achsen die Rückkehrtangenten bilden. Das auf irgend einer Tangente der Astroide durch die Achsen begrenzte Stück hat die konstante Länge c. Die Evolute der Astroide ist ihr ähnlich, aber doppelt so groß und um einen halben rechten Winkel gegen sie verdreht. Inhalt der Astroide ³/₈πc2, Umfang derselben 6c. Die Astroide ist verwandt mit der Evolute der Ellipse (s. Kegelschnitte).

Mehmke.