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Biegungsarbeit [1]

[1] Biegungsarbeit. Der Name kommt in zweierlei Bedeutung vor. Werden bei gewöhnlichen Biegungsversuchen (nach Fig. 1, s.a. Biegungselastizität, Biegungsfestigkeit) die Einsenkungen f als Abszissen, die zugehörigen ruhenden Belastungen P als Ordinaten aufgetragen, so stellt die Fläche unterhalb der Kurve, welche die Endpunkte der Ordinaten verbindet (Fig. 2), die Arbeit der Belastungen während der Biegung dar. Bis zu irgend einer Belastung P ist diese Biegungsarbeit:

A = ∫ Pdf = ηfP,

1.

unter η das Verhältnis der Arbeitsflächen zum umschriebenen Rechteck, den sogenannten Völligkeitsgrad. verstanden, der wie A gewöhnlich nur für den Eintritt des Bruchs interessiert.

Die Biegungsarbeit bis zum Bruche (mitunter auch Arbeitskapazität oder Deformationsarbeit der Biegung genannt) hat z.B. Tetmajer als charakteristisch für die Zähigkeit des Holzes angenommen und das Bauholz nach ihr und der Biegungsfestigkeit oder Druckfestigkeit beurteilt [1] II, S. 19, [8], S. 448, selbstverständlich unter Verwendung einheitlicher Versuchsstücke. Zur Beurteilung des Gußeisens sollten die Zugfestigkeit und Biegungsarbeit maßgebend sein [8], S. 448. Auch für Schweißeisen, Flußeisen und Stahl wurde die obige Biegungsarbeit vielfach bestimmt und zur Beurteilung des Materials herangezogen. Siehe z.B. [1] III, IV, [7], S. 63, 82, 91 mit Tafel XIX, XXI, XXII.

Häufiger wird als Biegungsarbeit die Arbeit zur Ueberwindung der inneren Kräfte bei elastischer Biegung, d.h. auch die Verschiebungsarbeit (s.d.) während der letzteren bezeichnet. Diese Biegungsarbeit, mit der die obige unter Umständen gleichwertig ist, pflegt auf Grund der technischen Biegungstheorie (s. Biegung) ausgedrückt zu werden. Es ergibt sich für den lediglich in der Mitte durch eine Einzellast P ergriffenen horizontalen Balken von konstantem Querschnitt F bei frei drehbaren Enden (Fig. 1):

bei absolut festgespannten Enden (Fig. 3):

[1] ferner für den einerseits festgespannten, anderseits frei schwebenden horizontalen Balken (Fig. 4) konstanten Querschnitts F mit nur einer Last P am freien Ende:

Ueber die Bezeichnungen s. Biegung. Für beliebig belastete horizontale Balken (s.d.) jeder Art erhält man:

wobei auch gleichmäßige Temperaturänderungen τ für je einen ganzen Querschnitt zugelassen sind, während sonstigen beliebig belasteten Balken und ebensolchen Bogen entspricht:

vorausgesetzt, daß die gebräuchlichen einfachsten Ausdrücke für die Normalspannung σ und Schubspannung τ (s. Biegung, Formeln 25) als zulässig erachtet werden. Die Integrale ohne angesetzte Grenzen sind auf den ganzen Stab bezw. auf denjenigen Teil desselben zu erstrecken, für den man die Biegungsarbeit ausdrücken will. Die mit k behafteten Glieder stellen den Einfluß der Schubkraft V_x oder T_x dar, der für viele Ermittlungen unberücksichtigt bleiben kann.

Virtuelle Biegungsarbeit ist die Biegungsarbeit, die sich ergeben würde, wenn die Spannungen während elastischer Biegungen konstant wie am Ende derselben wären. Für die Fälle der Gleichungen 2.–5. drückt sich dieselbe aus [4]:

B = 2B,

7.

während im Falle von Gleichung 6.:

so daß dann nur für τ = 0 oder N_x = 0 die Beziehung 7. besteht.

Nach dem Prinzip der virtuellen Verrückungen in fürs Gleichgewicht unter der üblichen Vernachlässigung der Reibungen an Auflagern und Gelenken die Arbeit der mit ihren Endwerten konstant gedachten äußeren Kräfte gleich der virtuellen Biegungsarbeit. Beispielsweise hat man also für die Fälle 2.–4. (Fig. 1, 3, 4):

Pf = B = 2B,

woraus mit B nach 2.–4. sofort die Einsenkung unter der Last P entnommen werden kann (vgl. Biegungselastizität), und zwar mit Rücksicht auf den Einfluß der Schubkraft V_x, der hier im allgemeinen nicht vernachlässigt werden darf. Vgl. Clapeyrons Theorem.

Die Formeln 2.–8. sind natürlich nur so lange zuverlässig, als ihre Grundlage, die technische Biegungstheorie (s. Biegung I), genügend zutrifft. Sie brauchen also schon nicht für Gußeisen und noch weniger für Holz, Stein, Beton zu gelten, wie auch für Glas zur Wiedergabe der Versuchsresultate besondere Formeln nötig waren [5], S. 109. S.a. Verschiebungsarbeit.

Literatur: [1] Tetmajer, Mitteilungen u.s.w., Zürich, Heft II, 1884 (Schweizer Bauhölzer,. S. 5, 17, 29, 46, Tab. 50), Heft III, 1886 (I-Träger aus Schweißeisen und Flußeisen, S. 104, 117, 135; Schienen, S. 239, 248), Heft IV, 1890 (Blechträger, S. 91, 94, 210, 223; I-Träger, S. 183; Zoreseisen, S. 191). – [2] Considère, Mémoire sur l'emploi du fer et de l'acier, Paris 1885–86, p. 58 etc. – [3] Castigliano, Theorie de l'équilibre des systèmes élastiques, Cap. 6–9, Turin 1880 (deutsche Ausgabe Wien 1886). – [4] Weyrauch, Aufgaben zur Theorie elastischer Körper, A 83–85, Leipzig 1885. – [5] Connert, Ueber die Biegungsfestigkeit des Glases, Civilingenieur 1888, S. 1, 109, 621. – [6] Bischoff, Bericht des Brückenmaterialkomitees, und Brik, Fachwissenschaftliche Erörterungen dazu, Zeitschr. d. österr. Ing.- u. Arch.-Vereins 1891, S. 63, 73. – [7] Müller-Breslau, Die neueren Methoden der Festigkeitslehre, II. Abschnitt, Berlin 1893. – [8] Tetmajer, Die angewandte Elastizitäts- und Festigkeitslehre, Leipzig und Wien 1904. – In bezug auf die Arbeit B liefern die meiden Lehrbücher der Festigkeitslehre Ableitungen für einzelne Fälle.

Weyrauch.

Fig. 1.

Fig. 2.

Fig. 3.

Fig. 4.