Evolute

[520] Evolute einer Kurve (Grundkurve) heißt die Enveloppe ihrer Normalen, zugleich der Ort ihrer Krümmungsmittelpunkte.

Ist y = f(x) die Gleichung der Grundkurve, so erhält man die Gleichung der Evolute in ξ, µ durch Elimination von x aus:

Ist x sinφ – y cosφ = p(φ) die Hessesche Normalform der Tangente einer Kurve, so ergibt die Elimination von φ aus dieser Gleichung und der durch Ableitung erhaltenen x cosφ + y sin φ = p'(φ) die Evolute. Ist n die Ordnung, v die Klasse, i die Zahl der Wendepunkte der Grundkurve, so ist die Evolute von der (i + 3v)-ten Ordnung und von der (n + v)-ten Klasse. Sie hat Rückkehrpunkte in den Punkten größter und kleinster Krümmung der Grundkurve, besitzt dagegen im allgemeinen keine Wendepunkte. Die Normalen in den Wendepunkten der Grundkurve sind Asymptoten der Evolute. Die Bogenlänge der Evolute zwischen zwei Punkten ist gleich der Differenz der Krümmungsradien der Grundkurve in den Endpunkten. Quasievolute ist die Enveloppe der Quasinormalen (s. Normale) einer Kurve.