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Linsen und Linsensysteme

[484] Linsen und Linsensysteme. Hier ist den im Hauptbände enthaltenen Ausführungen das Folgende nachzutragen.

Ueber den Zusammenhang der Brennpunkte, Hauptebenen und Hauptpunkte mit der Diakaustik (s.d., S. 165); es ist F H = f, F H' = f. Die Knotenpunkte K und K' des Linsensystems sind dadurch charakterisiert, daß einem im ersten Medium durch den vorderen Knotenpunkt K gehenden Strahle ein im letzten Medium durch den hinteren Knotenpunkt gehender paralleler Strahl entspricht. Man erhält sie, indem man von den Brennpunkten aus die Brennweiten vertauscht aufträgt; es ist also F K = f, F' K' = f; das Verhältnis dieser beiden Brennweiten ist gleich dem Verhältnisse der absoluten Brechungsquotienten der äußersten Medien. Sind aber – beispielsweise bei einem von Luft umgebenen System – diese Medien identisch, so ist f = f' und die Knotenpunkte fallen mit den Hauptpunkten zusammen.

Für jedes Paar konjugierter Punkte eines Linsensystems sind von Bedeutung: 1. Das zur Achse rechtwinklig genommene Abbildungsverhältnis κ, d.h. das Verhältnis der zur Achse rechtwinklig gemessenen linearen Ausdehnungen des Bildes und des Objekts. 2. Das in der Achse genommene Abbildungsverhältnis κ', d.h. das Verhältnis der in der Richtung der Achse gemessenen Ausdehnungen des unendlich dünnen Bildes und des unendlich dünnen Objekts. 3. Das Konvergenzverhältnis μ, d.h. das Verhältnis der (sehr klein zu denkenden) Neigungswinkel zweier durch konjugierte Punkte gehender entsprechender Geraden des Bild- und des Objektraumes gegen die Achse. Ist x der Abstand eines Achsenpunkts im Objektraume vom vorderen, x' der Abstand des konjugierten Punkts im Bildräume vom hinteren Brennpunkte, so ist:

Für die Hauptpunkte ist im besonderen

und für die Knotenpunkte

Brenn-, Haupt- und Knotenpunkte werden als Kardinalpunkte des Systems bezeichnet.

Die Figuren 1, 2, 3 und 4 zeigen die Konstruktion des Bildes U eines Objektpunktes L, und zwar Fig. 1 für ein allgemeines sammelndes, Fig. 2 für ein allgemeines zerstreuendes System. Fig. 3 und Fig. 4 für ein sammelndes und ein zerstreuendes System mit gleichen Brennweiten.

Die streng richtige Formel für die Brennweite einer auf beiden Seiten von Luft umgebenen Einzellinse ist

Hierin sind r₁ und r₂ die Radien der brechenden Flächen, positiv gerechnet, wenn die Flächen gegen die einfallenden Strahlen konvex sind; es ist ferner n der Brechungsquotient des Glases, m der Abstand der Krümmungsmittelpunkte beider Flächen, positiv gerechnet, wenn diese Mittelpunkte in demselben Sinne aufeinander folgen wie die Scheitelpunkte der Flächen[484] endlich d die Linsendicke. Es ist also r₁ + m = d + r₂. – Die angegebene Formel geht für d = 0, m = r₂ – r₁, in die bekannte Eulersche Näherungsformel

über. – Ist ferner x die Entfernung des hinteren Brennpunktes vom Mittelpunkte der zweiten brechenden Fläche, x' die Entfernung des vorderen Brennpunkts vom Mittelpunkte der ersten brechenden Fläche, t der Abstand beider Hauptpunkte, so ist

Die gewöhnliche Angabe, daß eine Sammellinse in der Mitte dicker, eine Zerstreuungslinse in der Mitte dünner als am Rande sei, ist nur annähernd richtig. Tatsächlich ist die Linse indifferent, läßt also parallel auf sie fallende Strahlen parallel wieder austreten, wenn

(n – 1) d = n (r₁ – r₂)

ist. Sind beispielsweise beide Radien positiv, so ist diese Linse in der Mitte dünner als am Rande. Nimmt man nun r₂ sehr wenig größer, als es dieser Bedingung entspricht, so ist die Linse eine Sammellinse, obwohl sie in der Mitte noch etwas dünner als am Rande ist. Die allein streng richtige Unterscheidung zwischen Sammel- und Zerstreuungslinsen ist die, daß bei den ersteren der Brennpunkt im Sinne der einfallenden Strahlen hinter, bei den Zerstreuungslinsen vor dem zugehörigen Hauptpunkte liegt, f also > 0 oder < 0 ist. Danach allein ist auch zu entscheiden, ob ein zusammengesetztes Linsensystem einer Sammel- oder einer Zerstreuungslinse äquivalent ist.

Kombination zweier Linsensysteme. Ist f'₁ die hintere Brennweite des ersten, f₂ die vordere Brennweite des zweiten, f'₂ die hintere Brennweite des zweiten Systems, e der Abstand des hinteren Hauptpunkts des ersten vom vorderen Hauptpunkte des zweiten Systems, so ist die vordere Brennweite der Kombination f = f₁f₂/(f₂ + f'₁ – e'), ihre hintere Brennweite f' = f₁'f₂'/(f₁' + f₂ – e) der Abstand des vorderen Brennpunkts der Kombination vom vorderen Hauptpunkt des ersten Systems z = f₁ (e – f₂)/(f₂ + f'₁ – e), der Abstand des hinteren Brennpunkts der Kombination vom hinteren Hauptpunkte des zweiten Systems z' = f₂' (e – f₁')/(f₁' + f₂ – e).

Während eine Kombination zweier Zerstreuungslinsen stets einer Zerstreuungslinse äquivalent sein kann, ist es sehr wohl möglich, daß die Kombination zweier Sammellinsen einer Zerstreuungslinse äquivalent ist. Dieser Fall tritt ein, wenn e > (f₁' + f₂) ist.

Literatur: s. unter Achromasie, Aplanasie, Diakaustik; ferner Helmholtz, »Handb. d. physiolog. Optik«, Leipzig 1867; Behandlung einer Linse und der Kombination zweier Linsen oder Linsensysteme ausführlich in Meisel, »Elem. d. geometr. Optik«, Hannover 1908.

F. Meisel.

Fig. 1.

Fig. 2., Fig. 3., Fig. 4.