Parallelogramm [4]

[34] Parallelogramm der Rotationen und Winkelgeschwindigkeiten. Zwei Rotationen eines Punktsystems um zwei sich schneidende Achsen a b (s. die Figur) von den unendlich kleinen Amplituden d ϑ, d ϑ' sind zusammen einer Rotation um eine Achse c äquivalent, die durch den Schnittpunkt von a und b hindurchgeht und in deren Ebene hineinfällt. Die Achse c der resultierenden Rotation ist die Diagonale eines Parallelogramms, das von den auf a und b dem Sinne der Rotationen entsprechend aufzutragenden Amplituden d ϑ und d ϑ' oder von ihnen proportionalen Längen gebildet wird, und die Amplitude d Θ derselben ist dieser Diagonalen im Verhältnis der Seiten proportional.

Die Achse a zerlegt nämlich die Ebene (a b) in zwei Felder, deren Punkte durch die Rotation d ϑ nach entgegengesetzten Seiten derselben geschleudert werden. Dasselbe gilt von der Achse b. Die Ebene zerfällt daher in zwei Paar Scheitelräume, von denen nur das eine Paar Punkte enthält, die entgegengesetzte Schleuderungen erleiden, vor und hinter die Ebene (a b) der Achsen. Bloß in diesem Paare können sich Punkte von entgegengesetzten Schleuderungen finden und mithin auch Punkte, die in Ruhe bleiben, weil ihre Schleuderungen entgegengesetzt gleich sind. Ist γ ein solcher Punkt, so ruhen alle Punkte der Geraden c, die ihn mit dem Schnittpunkt von a und b verbindet. Fällt man von γ auf a und b die Perpendikel γ P und γ Q, so sind die entgegengesetzten Schleuderungen von γ um die beiden Achsen γ P · d ϑ = γ Q · d ϑ' oder γ O · sin a c · d ϑ = γ O · sin c b d ϑ', d.h. es ist d ϑ : sin c b = d ϑ' : sin a c. Der Winkel a b wird so geteilt, daß die Sinus der Teile im umgekehrten Verhältnis der Amplituden stehen. Daher ist c die Diagonale des Parallelogramms über d ϑ und d ϑ'. Um die Amplitude d Θ der resultierenden Rotation um c zu finden, genügt es, die Bewegung eines der Punkte P Q zu verfolgen, z.B. die von P. Dieser Punkt verdankt seine ganze Bewegung der Rotation um b, nämlich P O · sin a b · d ϑ', da P O sin a b sein Abstand von b ist. Diese Schleuderung, als von der Rotation um c von der resultierenden Amplitude d Θ herrührend aufgefaßt, würde P O · sin a c · d Θ sein. Die Gleichsetzung beider liefert sin a b · d ϑ' = sin a c · d ϑ' oder d ϑ' : sin a c = d Θ : sin a b. Hiermit erhält man also für das Verhältnis der drei Amplituden d ϑ : sin c b = d ϑ' : sin a c = d Θ : sin a b, d.h. d Θ ist die Diagonale des genannten Parallelogramms. Daher ist auch d Θ² = d ϑ² + d ϑ'² + 2 d ϑ d ϑ' · cos a b. Die Winkelgeschwindigkeiten um die drei Achsen a, b, c würden sein ω = d ϑ : d t, ω' = d ϑ' : d t, Ω = d Θ : d t, daher kann der Satz auch als Satz von diesen Winkelgeschwindigkeiten ausgesprochen werden, und es sind die beiden auf sie bezüglichen Gleichungen: ω : sin c b = ω' : sin a c = Ω : sin a b, Ω² = ω² + ω'² + 2ω ω' cos a b.

Literatur: Poinsot, Théorie nouvelle de la rotation des corps, Paris 1851, S. 5; Schell, Theorie der Bewegung und der Kräfte, 2. Aufl., Leipzig 1879, Bd. 1, S. 176–179.

(† Schell) Finsterwalder.