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Funktion

[525] Funktion – Eine Wortgeschichte, für welche es übrigens genügende Vorarbeiten nicht gibt, würde den jüngsten Bedeutungswandel, der das alte Wort erst zu einem philosophischen Begriffe gemacht hat, kaum aufklären helfen. Lat. functio bedeutete (wie fungi) jede Verrichtung, insbesondere die Verrichtung von Dienstgeschäften, sodann die Möglichkeit, eine Ware nach Qualität und Quantität zu vertreten, wonach dann die Sachen in fungible und individuell bestimmte geschieden werden konnten. Im Französischen sind die verschiedenen Bedeutungen von fonction besonders gut auseinander zu halten; fonction bezeichnet (nach Littré) 1. die jedem Amte eigentümliche Tätigkeit, auch die Vertretung eines Dienstes (faire fonction de...); 2. das Amt selbst, wovon die Ableitung fonctionnaire; 3. die Verrichtungen der einzelnen Körperorgane; 4. besonders in der Psychologie die genauer bekannten und untersuchten mikroskopischen Arbeiten der Organe, wie die des Verdauungsorgans, des Atmungsorgans; bei den Sinnesorganen spricht man lieber von spezifischen Sinnesenergien; 5. in der Mathematik nennt man eine veränderliche Größe, deren Veränderung von einer andern veränderlichen Größe x abhängig ist, deren Funktion. Littré hat noch weitere technische Bedeutungen gebucht, die uns hier nicht interessieren; ebensowenig wie der seltsame Bedeutungswandel, der dem lat. defunctus (franz. défunt) den Sinn von verstorben gegeben hat.

Wie functio zu der Bedeutung der quantitativen Abhängigkeit[525] gekommen ist, das gehört in die Geschichte der Mathematik; es ist bekannt, daß functio bei den ersten Analytikern der Geometrie nur eine besonders ausgezeichnete Art der Abhängigkeit bezeichnete, die verschiedenen Potenzen der gleichen Zahl, so daß bei den einfachsten Aufgaben die Fläche des Quadrats und der Inhalt des Würfels als Funktionen einer Seite erschienen; die großen Mathematiker dehnten den Funktionsbegriff dann weiter aus, bis er in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts zu einer Grundlage werden konnte, auf der die Arithmetisierung aller mathematischen Disziplinen mit unerhörter Strenge aufgebaut werden konnte. Ich möchte aus diesen mir nur schwer zugänglichen Gebieten das Eine erwähnen, daß auch diese mathematische Abhängigkeit noch ein unbestimmter Ausdruck ist, weil die Formel y = f(x) auch dann gebraucht werden darf, wenn die Relation zwischen y und x nicht eindeutig bestimmt werden kann.

In diesem Sinne einer unklaren, unkontrollierbaren Abhängigkeit wurde der Begriff Funktion von zwei deutschen Denkern gebraucht, die auch darin voneinander verschieden waren, daß der eine mathematische Formeln liebte, der andre nicht: von Schleiermacher und Herbart. Beide aber waren Gegner des verstiegenen Idealismus, der von Kant abgefallen war oder ihn mit Fichte mißverstanden hatte, des Idealismus, der am liebsten völlige Unabhängigkeit der Philosophie von der realen Welt, des Denkens von seinem Gegenstände, der Form vom Stoffe gelehrt hätte; beide, Schleiermacher und Herbart, strebten auf ganz verschiedenen Wegen zu der freundlichen Annahme einer realen Welt zurück, beide gaben die Abhängigkeit des Ichs von der realen Welt zu, und beide gebrauchen für diese Abhängigkeit den gefälligen Ausdruck Funktion. Schleiermacher unterscheidet mit Kant Stoff und Form an unsrer Erkenntnis; der Stoff wird durch die organische Funktion als Sinnesempfindung gegeben, die Form wird von der intellektuellen Funktion oder dem Denken erzeugt. Er hätte statt Funktion sagen können: die von etwas Gegebenem abhängige Tätigkeit, die Verarbeitung, die Arbeit. Viel[526] komplizierter und scheinbar mathematischer war das Weltbild Herbarts; bei ihm waren die Vorstellungen Funktionen der realen Substanzen, aber Abhängigkeit der Vorstellungen von den Substanzen und Abhängigkeit der Vorstellungen untereinander war wohl nicht anders gemeint als bei Schleiermacher. Wir haben die Abhängigkeit als einen verschwommenen Ersatz für den Begriff der Notwendigkeit kennen gelernt; diese Verschwommenheit, die nun auch dem Funktionsbegriff anhaftete, kam den Gegnern des Idalismus wohl nie ins Bewußtsein. Nun ist aber die Verschwommenheit des Begriffs gerade für die Mathematik und die reine Physik nicht so zu verstehen, als ob der Wert der Funktion, die Relation zwischen der abhängigen und der unabhängigen Veränderlichen unbestimmt oder unklar sein müßte; nur der Begriff Abhängigkeit selbst ist ungenau, so lange man ihn nicht mit dem Begriffe der Notwendigkeit identifiziert. (Vgl. Art. Abhängigkeit.)

Und diesen Schritt just hat Mach gewagt (nicht ganz so entschieden und eindeutig auch Avenarius), da er vorschlug, das Funktion zu nennen, was seit jeher Ursache, causa geheißen hatte. Ich brauche wohl nicht hervorzuheben, daß es auf das Wort nicht ankommt; verstünde Mach unter Funktion nichts andres, als was vorher unter Ursache verstanden worden war, so hätte er, der mit seiner Ökonomie des Denkens der Sprache kritisch genug gegenübersteht, seinen verwegnen Vorschlag kaum für nötig gehalten. Mach hat seine Idee zuerst in einem Vortrage über die Erhaltung der Arbeit (1872) ausgesprochen, sodann noch schärfer (in der »Analyse der Empfindungen³« S. 71). Er versteht unter dem Funktionsbegriff, den er an die Stelle des alten Kausalitätsbegriffs setzen möchte, »Abhängigkeit der Erscheinungen voneinander, genauer Abhängigkeit der Merkmale der Erscheinungen voneinander«. Die Gegenseitigkeit der Abhängigkeiten ist das Neue. Wie die Abhängigkeiten der Lagen gegenseitig sind. »Eine gegenseitige Abhängigkeit läßt Veränderung nur zu, wenn irgend eine Gruppe der in Beziehung stehenden Stücke[527] als unabhängig variabel betrachtet werden kann. Deshalb ist es zwar möglich, das Weltbild in wissenschaftlich bestimmter Weise im einzelnen zu ergänzen, wenn ein ausreichender Teil desselben gegeben ist, wo aber die ganze Welt hinaus will, kann wissenschaftlich nicht ermittelt werden... Darin liegt für mich der Vorzug des Funktionsbegriffs vor dem Ursachenbegriff, daß erstrer zur Schärfe drängt, und daß demselben die Unvollständigkeit, Unbestimmtheit und Einseitigkeit des letztem nicht anhaftet. Der Begriff Ursache ist in der Tat ein primitiver vorläufiger Notbehelf.«

In einer Anmerkung (S. 71), in der sich Mach kurz und freundlich wie Cossmans Versuch einer Rettung der Teleologie auseinandersetzt, sagt Mach, er habe den alten Kausalitätsbegriff durch den Funktionsbegriff ersetzt; im Texte selbst nennt er den Ursachbegriff, den er durch den mathematischen Funktionsbegriff ersetzen wollte. Das ist nicht genau das Gleiche. Bei Ursache dachte man durch Jahrtausende nicht an eine Gegenseitigkeit der Relation; wenn man die Wärme zur Ursache der Ausdehnung des Quecksilberfadens im Thermometer macht, so denkt niemand an eine Gegenseitigkeit zwischen Ursache und Wirkung. Kausalität aber drückt, wie Kant geigen Hume erkannt hat, eben die Relation zwischen Ursache und Wirkung aus, und ist darum ein viel reicherer Begriff als der der Ursache; wir haben gelernt, daß die neue Physik sogar unter ihrem Lieblingsbegriffe, der Energie, gar nichts andres versteht, als diese Kantische Kategorie der Kausalität. (Vgl. Art. causalitas und Energie.) Wie nun diese gegenseitige Abhängigkeit physikalischer Erscheinungen recht gut durch den mathematischen Begriff der Funktion bezeichnet werden könne, das hoffe ich durch das einfachste Beispiel fast anschaulich machen zu können.

Die analytische Formel für die Ellipse besagt, daß y eine bestimmte Funktion von x sei; oder umgekehrt. Wenn nun ein Gärtner ein elliptisches Beet im Garten ausführen will. so beschreibt er die Ellipse nach einer Methode, die die gegenseitige Abhängigkeit sehr sinnfällig macht. Er nimmt eine[528] Leine, deren Länge der Summe der beiden Vektoren entspricht, befestigt beide Enden dort, wo die beiden Brennpunkte stehen sollen, und fährt nun mit einem Stabe der straff gespannten Leine entlang. In jedem Augenblicke ist die Formel dieser Ellipse erfüllt, in jedem Augenblicke ist die Ordinate die gleiche Funktion der Abszisse; oder umgekehrt. Die Gegenseitigkeit der Abhängigkeit ist nicht zu verkennen; der eine Vektor kann nicht um die kleinste Strecke länger werden, ohne daß der andre Vektor um ebensoviel kürzer würde. Diese Gegenseitigkeit ist auf dem Gebiete der Geometrie längst anerkannt. Was Schopenhauer unter den vier Wurzeln des zureichenden Grundes den Seinsgrund genannt hat, das ist der Grund geometrischer Raumverhältnisse; die Beziehungen sind gegenseitig, aber man spricht da nicht leicht von einer Wechselwirkung, weil der Seinsgrund nicht Ursache zu einer Wirkung ist, wie der Grund des Werdens. Die Kühnheit Machs scheint mir nur darin zu bestehen, daß er den Funktionsbegriff, der die gegenseitige Abhängigkeit des Seins im Räume ausdrückt, auf die gegenseitige Abhängigkeit von Ursache und Wirkung in der Zeit ausdehnen will. Die Schwierigkeiten dieses Bedeutungswandels sind nicht zu übersehen; man kann z.B. die Bewegungen in einem Planetensystem als Funktionen der Zeit darstellen; aber die Zeit ist nicht umkehrbar, und dennoch kann an einer Wechselwirkung der sogenannten Gravitation kein Zweifel sein. Und gerade darum könnte die Ersetzung des Kausalitätsbegriffs durch den Funktionsbegriff noch sehr fruchtbar werden; man hat die Kausalität allzu lange für ein Gesetz gehalten, es für alleingiltig gehalten, weil es als allgiltig erfahren wurde (Cossmann hat diesen Gegensatz geprägt); der Funktionsbegriff drängt sich nicht in solcher Weise als ein Gesetz auf, er will nur eine Beschreibung sein und tut namentlich den Erscheinungen der Biologie keine Gewalt an, die sich nun einmal der alleingiltigen Kausalität nicht fügen wollen. Bevor ich aber wage, den Funktionsbegriff mit schwer sichtbar zu machenden Spinnenfäden an den geheimnisvollen Zweckbegriff zu knüpfen, möchte ich wieder[529] einmal vor den Gefahren sprachlicher Verlockungen warnen. Mich und den Leser.

Auch Mach kann auf die alten Bezeichnungen Ursache und Wirkung, trotzdem er sie für vulgär und überflüssig erklärt, nicht ganz verzichten; er spottet mit gutem Humor (»Erkenntnis und Irrtum«² S. 279) über den Vorwurf, daß er einen erbitterten Kampf gegen den Begriff Ursache führe; aber der Sprachgebrauch ist tyrannisch und zwingt auch den Widerwilligen vorläufig, zwei Veränderungen, von denen die eine unmittelbar auf die andre und aus der andern folgt, als Ursache und Wirkung auseinander zu halten. Mach wird mir recht geben müssen, wenn ich diese Zwangsvorstellung der Sprache bei der doch notwendigen Unterscheidung zwischen dem Energiebegriff und dem Funktionsbegriff wirksam finde.

Beide Begriffe bezeichnen die Abhängigkeit zweier Veränderungen voneinander; beide Begriffe beziehen sich auf die Arbeit, die für die Veränderung notwendig war. Nun denke man noch einmal an das Gebiet, dem der mathematische Funktionsbegriff entlehnt worden ist: beim Seinsgrund der Geometrie, bei der Ellipse z.B. ist es ganz konventionell oder willkürlich, ob wir x oder y zur unabhängigen Veränderlichen machen wollen, ob wir y = f(x) oder x = f(y) schreiben wollen. Die Sprache weigert sich auch, da der Funktion eine Energie gegenüberzustellen; die Sprache würde sich ja auch weigern, auf die Entstehung der Kurve den Begriff Arbeit anzuwenden. Veränderungen, die nur Relationen des Raumes sind, nur Funktionen des Raumes, haben nichts mit Ursache und Wirkung zu tun; dieses Begriffspaar ist eine Funktion der Zeit, und Hume scheint recht zu behalten. Denken wir aber an den Grund des Werdens, an die physikalische Wirklichkeit, dann ist es – meinetwegen nur vorläufig – nicht konventionell, nicht willkürlich, ob wir die Ausdehnung von der Wärme abhängig nennen oder umgekehrt. Wohl aber können wir schon heute, allerdings nur mit einiger Anstrengung, die Vorstellung fassen: es liegt in unsrer Willkür, vom Zeitmomente abzusehen und dann wie zeitlos unsre Aufmerksamkeit[530] bald auf die Wärme, bald auf die Ausdehnung als zwei gegenseitig Abhängige zu richten. Oder (was weniger Anstrengung erfordern würde): bald auf die Anziehung der Sonne, bald auf die der Erde. Auch dann noch aber zwingt uns die Sprache vorläufig, zwischen Ursache und Wirkung zu unterscheiden, selbst wenn wir in der Ausdehnung nur eine andre Erscheinungsform der Wärme erblicken. Man kann nun sagen: fassen wir die Abhängigkeit der beiden Erscheinungen als eine Funktion der nichtumkehrbaren Zeit, so nennen wir die vorausgehende Erscheinung oder die Möglichkeit der Arbeitsleistung, die potentielle Arbeit, Energie, und denken dabei unklar an den Ursachbegriff mit; so nennen wir die nachfolgende Erscheinung, die geleistete, aktuelle Arbeit, Funktion, und denken den Wirkungsbegriff mit. Ob wir wollen oder nicht; vorläufig, wie gesagt. Die Umkehrbarkeit der Zeit hat Mach allerdings vorstellbar gemacht, in einer schönen Phantasie: man braucht die Bilder eines Kinematographen nur rückwärts vorzuführen.

Ich kehre zu dem Problem zurück, den Funktionsbegriff auf die biologische Zweckvorstellung anzuwenden. Der biologische Funktionsbegriff steht dem mathematischen Funktionsbegriff darum so fern, weil immer ein Zweck mitgedacht wird, wenn von der Funktion eines Organs die Rede ist. Genau betrachtet, steckt der Zweckbegriff noch tiefer in der Funktionsvorstellung verborgen. Übersetzen wir Funktion mit Verrichtung, Ausführung, Vollführung, so liegt in diesen drei Vorsilben jedesmal schon etwas wie Befriedigung über die Erreichung eines menschlichen Endzwecks. Alte Definitionen, die meinem Gedankengange fernstehen, haben von den verschiedensten Standpunkten aus solche Bestimmungen aufgenommen; der fromme Dictionnaire universel de Trévoux definiert: l'action de l'agent qui fait la chose à laquelle il est destiné ou obligé; und die freie Enzyklopädie Diderots erklärt: on appelle fonctions ces actions, comme étant faites pour s'acquitter d'un devoir auquel leur structure et leur position les engagent. Wenn wir von der Funktion[531] des Darms, der Lunge, des Gehirns reden, wenn wir das Gedächtnis für eine Funktion der organisierten Materie erklären, so denken wir bei den spezifischen Sinnesenergien an einen Dienst, zu welchem alle diese Organe bestimmt sind, einerlei von wem, so denken wir an richtig ausgeführte Verrichtungen. Auch Maschinen, auch Beamte funktionieren nach einem vorgedachten Zwecke. Nach einem Plane, der zu dem menschlichen Begriffe Endursache Veranlassung gegeben hat.

Nur der mathematische Funktionsbegriff hat mit allen diesen Vorstellungen nichts zu tun, weil er, wie gesagt, zeitlos ist. Wollen wir nun mit Mach diesen mathematischen Funktionsbegriff auf die physikalische Wirklichkeit anwenden, dann müssen wir nach wie vor je zwei abhängige Erscheinungen in Ursache und Wirkung zerfallen, aber nur, so lange wir von der Zeit nicht frei geworden sind, so lange wir die Ursache als eine Funktion der Zeit ansehen. Können wir uns aber von der Zeit befreien, können wir zeitlos die beiden abhängigen Erscheinungen als gegenseitig abhängig erkennen, dann wird der Grund des Werdens zeitlos wie der Seinsgrund. Es bleibt dann gewissermaßen eine poetische Lizenz, ob wir die abhängige Erscheinung, welche im Banne der Zeitvorstellung als die nachfolgende aufgefaßt worden ist, Wirkung oder Endursache nennen wollen.