Bogen [1]

[141] Bogen (Arcus) wird jeder durch irgend zwei Punkte begrenzte Teil einer beliebigen Kurve genannt. Unter der Länge eines Bogens versteht man die obere Grenze, der die Länge des Umfangs eines in den Bogen einbeschriebenen Vielecks zustrebt, wenn man die Zahl der Ecken dieses Vielecks fortwährend zunehmen, also die Längen der einzelnen Seiten desselben fortwährend abnehmen läßt.

Für ein Bogenelement (Differential der Bogenlänge) ds besteht bei ebenen Kurven und rechtwinkligen Cartesischen Koordinaten x, y der Ausdruck

bei Polarkoordinaten r, φ dagegen

endlich bei räumlichen Kurven und rechtwinkligen Cartesischen Koordinaten x, y, z

Die Bogenlänge s zwischen den Punkten x₀, y₀ und x₁ y₁ einer ebenen Kurve wird nach der Formel

berechnet, je nachdem die Kurve durch eine Gleichung der Gestalt y = f (x) oder x = f (y), oder durch zwei Gleichungen der Gestalt x = ψ₁ (t), y = ψ₂ (t) mit der Hilfsveränderlichen t gegeben ist (im letzten Fall sind t₀ und t₁ die den Endpunkten des Bogens entsprechenden Werte von t). Bei Polarkoordinaten muß ähnlicherweise je nach den Umständen die Formel

benutzt werden. Die Bogenlänge einer Raumkurve berechnet man aus

wenn die Kurve durch drei Gleichungen der Form x = ψ₁ (t), y = ψ₂ (t), z = ψ₃ (t) dargestellt ist Sind für die Kurve zwei Gleichungen zwischen x, y und z gegeben, so braucht man bloß eine der Veränderlichen x, y, z für t zu wählen und sich nach den andern beiden die Gleichungen aufgelöst zu denken, um den vorhergehenden Fall zu erhalten.