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Differenzenrechnung

[767] Differenzenrechnung. Es sei u_x eine Funktion von x, deren Werte für positive ganze x in Form einer Reihe (Hauptreihe) gegeben sind. Die Differenzen u_{x + 1} – u_x werde mit Δu_x bezeichnet. Dann bilden alle Δu_x ebenfalls eine Reihe, welche die erste Differenzenreihe der Hauptreihe heißt. Verfährt man mit dieser ebenso, so entsteht die zweite Differenzenreihe, deren Glieder Δ²u_x – Δu_{x + 1} – Δu_x sind u.s.w.

Schema: u₀ u₁ u₂ u₃ u₄ ..., Δu₀ Δu₁ Δu₂ Δu₃ ..., Δ²u₀ Δ²u₁ Δ²u₂ ..., ... Dabei bestehen die Beziehungen:

wo Binomialkoeffizienten (s.d.) und

Die Differenzenrechnung, d.h. die Rechnung mit diesen Differenzen bietet viele Analogien mit der Differentialrechnung und dient zur Lösung von Aufgaben der Wahrscheinlichkeitsrechnung [1], zur Interpolation, zur Ermittlung von Formeln der mechanischen Quadratur und zur Berechnung der Wurzeln numerischer Gleichungen [3].

Literatur: [1] Michaelis, G., Die Elemente der Differenzenrechnung mit Beispielen aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung (Programmabh.), Berlin 1843. – [2] Boole, G., Grundlehren der endlichen Differenzen- und Summenrechnung, deutsch von Schnuse, Braunschweig 1867. – [3] Serret, J.A., Handbuch der höheren Algebra, deutsch von G. Wertheim, Bd. 1, 2. Aufl., Leipzig 1878, S. 268 ff. – [4] Hagen, J.G., Synopsis der höheren Mathematik, Bd. 1, Berlin 1891, S. 142 ff. – [5] Herrschel, J.F. W., Sammlung von Aufgaben aus der endlichen Differenzen- und Summenrechnung, deutsch von Schnuse, Braunschweig 1859. – [6] Markow, A., Differenzenrechnung, deutsch von Friesendorff und Prümm, Leipzig 1896. – [7] Piccioli, F., Anfangsgründe der endlichen Differenzen, deutsch von Meccans und Lunardoni, Wien 1881. – [8] Seliwanow, D., Lehrbuch der Differenzenrechnung, Leipzig 1904.

Wölffing.