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Polygonālzahlen

[124] Polygonālzahlen (Vieleckszahlen), die Summen der beliebig weit fortgesetzten Zahlenreihe 1 + (p - 2), 1 + 2(p - 2), 1 + 3(p - 2) etc. Sie gehören zu den figurierten Zahlen (s. d.) und führen ihren Namen deshalb, weil man, wenn man die in ihnen enthaltenen Einheiten durch Punkte darstellt, diese Punkte so anordnen kann, daß lauter einander ähnliche, regelmäßige Vielecke (s. Polygon) entstehen, die eine Ecke gemein haben, und von denen jedes alle vorhergehenden umfaßt, und zwar entstehen jedesmal so viele regelmäßige Vielecke, als man Glieder der Reihe summiert hat; die Zahl p ist die Anzahl der Ecken des Vielecks.

Fünfsechszahlen.

Die Figur veranschaulicht dies für die Pentagonal- (Fünfecks-) Zahlen. Für p = 3 ergeben sich die Trigonal- (Dreiecks-) Zahlen 1, 1 + 2 = 3, 1 + 2 + 3 = 6, 1 + 2 + 3 + 4 = 10, deren allgemeine Form n/2(n + 1) ist; für p = 4 die Tetragonalzahlen (Quadratzahlen) 1, 1 + 3 = 4, 1 + 3 - 5 = 9, 1 + 3 + 5 + 7 = 16, allgemein n²; für p = 5 die Pentagonalzahlen 1, 1 + 4 = 5, 1 + 4 + 7 = 12, 1 + 4 + 7 + 10 = 22, allgemein n(3n - 1); für p = 6 die Hexagonalzahlen 1, 1 + 5= 6, 1 + 5 + 9 = 15, allgemein n(2n - 1). Die allgemeine Form der n-ten p-Eckszahl ist n/2[(n - 1)(p - 2) + 2].