[320] Polygonalzahlen (v. gr.), die Glieder jeder arithmetischen Reihe (s. Reihe) zweiter Ordnung, deren erstes Glied 1 u. deren zweite (beständige) Differenz eine absolute ganze Zahl ist. Je nachdem die zweite Differenz einer solchen Reihe 1, 2, 3, 4, 5, 6 etc. ist, heißen die Glieder derselben Trigonal- (od. Triangular-), Tetragonal- (od. Quadrat-), Pentagonal-, Hexagonal-, Heptagonal-, Oktagonalzahlen etc., od. auch drei-, vier-, fünf-, sechs-, sieben-, achteckige u. allgemein meckige Zahlen, wenn die zweite Differenz m – 2 ist. Die Stellenzahl des Gliedes in einer solchen Reihe heißt die Seite der P. Wird letztere mit n bezeichnet, so erhält man für die Trigonalzahlen 1/2n (n + 1); für die Tetragonalzahlen n2; Pentagonalzahlen 1/2n (3 n –1); Hexagonalzahlen n (2n_–1); Heptagonalzahlen 1/2n (5n–3); Oktagonalzahlen n (3n–2) als allgemeines Glied etc. Hierin nach einander 1, 2, 3,_... statt n gesetzt, erhält man die fünf ersten
| Trigonalzahl | = | 1, | 3, | 6, | 10, | 15 |
| Tetragonalzahl | = | 1, | 4, | 9, | 16, | 25 |
| Pentagonalzahl | = | 1, | 5, | 12, | 22, | 35 |
| Hexagonalzahl | = | 1, | 6, | 15, | 28, | 45 |
Die P. haben ihren Namen von der Eigenthümlichkeit, daß, wenn beliebig viele reguläre Polygone von einerlei Seitenzahl so auf einander gelegt werden, daß alle einen Winkel gemeinschaftlich haben, u. wenn auf jede Seite derselben der Reihe nach 2, 3, 4, 5,_... Punkte gestellt werden, die Anzahl sämmtlicher in jedem solchen Polygon enthaltener Punkte eine Polygonalzahl ist, deren Seite der Zahl der Punkte, welche auf der Seite dieses Polygons stehen, gleich ist u. deren Name mit der Seitenzahl des Vielecks übereinstimmt. Unter den Griechen handeln über die P. Diophant (s.d.) u. Theon von Smyrna. Marpurg, Progressionalcalcul, Berl. 1774.