Pythagorēisches Dreieck

[488] Pythagorēisches Dreieck, ein rechtwinkliges Dreieck, bei dem alle drei Seiten durch ganze (oder auch durch rationale) Zahlen darstellbar sind. Da für jedes rechtwinklige Dreieck der Pythagoreische Lehrsatz (s. d.) gilt, so besteht zwischen den drei Zahlen x, y, z, die der Reihe nach die beiden Katheten und die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks darstellen, die Gleichung: x²+y² = z². Hat man umgekehrt drei Zahlen x, y, z, die dieser Gleichung genügen, so gibt es, wie schon Eukleides gezeigt hat, stets ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Seiten eben durch die Zahlen x, y, z dargestellt werden. Demnach kommt die Bestimmung aller Pythagoreischen Dreiecke, wenn wir uns auf den Fall ganzer Zahlen beschränken, darauf hinaus, alle möglichen ganzzahligen Werte von x, y, z zu finden, die der Gleichung: x²+y² = z² genügen. Man nennt drei ganze Zahlen x, y, z, die dieser Gleichung genügen, Pythagoreische Zahlen, und es läßt sich zeigen, daß man alle möglichen Pythagoreischen Zahlen erhält, wenn man: x = 2fab, y = f(a²+b²), z = f(a²+b²) wählt und dabei für a und b zwei beliebige teilerfremde ganze Zahlen (relative Primzahlen, s. Primzahl) und für f eine beliebige ganze Zahl, oder wenn a und b beide ungerade sind, die Hälfte einer beliebigen ganzen Zahl einsetzt. Z. B. erhält man für a = 3, b = 1, f = ¹/₂ das einfachste Pythagoreische Dreieck: x = 3, y = 4, z = 5; für a = 3, b = 2, f = 1 findet man: x = 12, y = 5, z = 13 etc.