Dreieck [2]

[185] Dreieck (Triangel), jede Figur, die aus drei Punkten (den Ecken) und aus drei diese Ecken paarweise verbindenden Linien (den Seiten) besteht. Nach der Beschaffenheit der Seiten redet man von geradlinigen und krummlinigen Dreiecken. Das geradlinige D., das man unter D. schlechthin stets zu verstehen hat, ist durch seine drei Ecken, die aber nicht in gerader Linie liegen dürfen, vollständig bestimmt, es liegt stets in einer Ebene, der von ihm eingeschlossene ebene Flächenraum heißt die Dreiecksfläche und die von den Seiten an den Ecken gebildeten Winkel (s. d.), deren Öffnung in die Dreiecksfläche fällt, sind die drei (innern) Winkel des Dreiecks. Liegt eine Seite des Dreiecks wagerecht, so nennt man sie die Grundlinie (Basis) und die gegenüberliegende Ecke die Spitze des Dreiecks, doch kann man auch jede beliebige Seite als Grundlinie betrachten. Dreiecke mit drei gleichen Seiten heißen gleichseitig, solche mit nur zwei gleichen Seiten gleichschenklig, und zwar nennt man die gleichen Seiten die Schenkel, die dritte Seite vorzugsweise die Grundlinie; alle übrigen Dreiecke sind ungleichseitig (Fig. 1). Ferner unterscheidet man spitzwinklige Dreiecke mit drei spitzen Winkeln, rechtwinklige mit einem rechten (und zwei spitzen) und stumpfwinklige mit einem stumpfen Winkel (und zwei spitzen, Fig. 2). Stumpf- und spitzwinklige Dreiecke nennt man auch schiefwinklig. Im rechtwinkligen D. nennt man die beiden den rechten Winkel einschließenden Seiten Katheten, die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite aber Hypotenuse. Das von der Spitze eines Dreiecks auf die Grundlinie oder deren Verlängerung gefällte Lot ist die Höhe des Dreiecks. Betrachtet man in einem rechtwinkligen D. eine Kathete als Grundlinie, so ist die andre die Höhe. Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn man das eine so auf das andre legen kann, daß die Ecken (und also auch die Seiten und innern Winkel) beider zusammenfallen.

Fig. 1. Gleichseitiges, gleichschenkliges, ungleichseitiges Dreieck.

Kongruente Dreiecke unterscheiden sich also nur durch ihre Lage. – Die bemerkenswertesten Eigenschaften der Dreiecke sind folgende: 1) Eine Seite ist stets kleiner als die Summe der beiden andern, und der Unterschied zweier Seiten ist kleiner als die dritte Seite. 2) Gleichen Seiten eines Dreiecks liegen gleiche Winkel gegenüber, und gleichen Winkeln liegen gleiche Seiten gegenüber; der größern der zwei Seiten liegt der größere Winkel, und dem größern Winkel liegt die größere Seite gegenüber. 3) Der (durch eine Seite und die Verlängerung der andern gebildete) Außenwinkel eines Dreiecks ist gleich der Summe der gegenüber (d.h. an den beiden andern Ecken) liegenden innern Winkel.

Fig. 2. Spitzwinkliges, rechtwinkliges, stumpfwinkliges Dreieck.

4) Aus dem Parallelenaxiom (s. d.) ergibt sich, daß in jedem D. die Summe der innern Winkel zwei Rechte oder 180° beträgt; daraus folgt, daß jedes D. mindestens zwei spitze Winkel und also höchstens einen stumpfen oder rechten Winkel enthält. Im gleichschenkligen D. sind daher die beiden gleichen Winkel spitz und im gleichseitigen D. ist jeder Winkel gleich 60°. 5) In einem rechtwinkligen D. ist das Quadrat der Hypotenuse so groß wie die Summe der Quadrate der beiden Katheten (s. Pythagoreischer Lehrsatz). 6) Die Dreiecksfläche ist gleich dem halben Produkte der beiden Zahlen, welche die Länge der Grundlinie und die Länge der Höhe durch die Längeneinheit ausdrücken. 7) Die sogen. Kongruenzsätze für das D. geben an, wann zwei Dreiecke kongruent sind. Man denkt sich dabei die Seiten und Winkel des einen Dreiecks den Seiten und Winkeln des andern so zugeordnet, daß jeder Seite und dem gegenüberliegenden Winkel des einen eine Seite und der gegenüberliegende Winkel des andern entspricht, und zwar sind die Dreiecke kongruent, wenn folgende drei Stücke (Seiten und Winkel bezeichnet man als Stücke) des einen den entsprechenden Stücken[185] des andern gleich sind: a) zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel, b) die drei Seiten, c) zwei Seiten und der der größern gegenüberliegende Winkel, d) eine Seite und die beiden anliegenden Winkel, e) eine Seite, ein anliegender und ein gegenüberliegender Winkel. Kennt man nämlich von einem D. drei solche Stücke, so ist dadurch das D. seiner Gestalt nach vollständig bestimmt, und man kann die übrigen Stücke entweder durch geometrische Konstruktion oder durch trigonometrische Berechnung (Auflösung des Dreiecks, s. Trigonometrie) finden. – Durch seine Winkel allein ist ein D. noch nicht bestimmt, denn durch die drei Winkel sind in Wahrheit bloß zwei Stücke des Dreiecks gegeben, da der dritte Winkel erhalten wird, wenn man die Summe der beiden andern von zwei Rechten abzieht. Zwei Dreiecke, die dieselben Winkel haben, brauchen nicht kongruent zu sein, wohl aber sind die Seiten des einen denen des andern proportional (s. Proportion). Sind umgekehrt die Seiten eines Dreiecks denen eines andern proportional, so haben beide Dreiecke dieselben Winkel. Man nennt solche Dreiecke ähnlich. – Von den krummlinigen Dreiecken sind die wichtigsten die sphärischen, die auf einer Kugelfläche liegen (s. Trigonometrie). Beim Aufnehmen entsteht ein fehlerzeigendes D., wenn der Meßtisch nicht genau orientiert ist, also das Bild auf der Meßtischplatte mit der Natur in den entsprechenden Linien nicht parallel gestellt ist. Das fehlerzeigende D. wird durch Rückwärtseinschneiden, d.h. das Zurückziehen von Visierlinien nach drei trigonometrischen Punkten, gebildet.