[774] Diophantische Gleichungen, solche Gleichungen, bei denen die Anzahl der Unbekannten größer ist als die Zahl der Gleichungen, wobei aber für die Unbekannten nur ganze Zahlen als Lösungen zugelassen werden. Die Zahl der Lösungen ist unendlich groß, aber sie lassen sich auf eine oder endlich viele allgemeine Lösungen, die Parameter enthalten, zurückführen.
a) Um eine diophantische Gleichung ersten Grades mit zwei Unbekannten x und y aufzulösen, dient am besten die Kettenbruchmethode [1], S. 55. Ist ax – bx = k gegeben, so entwickelt man a/b in einem Kettenbruch. Der Bruch a/b selbst sei der n., der Bruch a1/b1 der n – 1. Näherungsbruch. Dann ist die allgemeine Lösung x = (– 1)n – 1 ka1 + bw; y = (– 1)n – 1 kb1 + aw, wo w eine beliebige ganze Zahl (Parameter). Von andern Methoden erwähnen wir noch diejenige von Euler [1], S. 50, die auch auf mehrere Unbekannte und mehrere Gleichungen anwendbar ist, die Methode der Kongruenzen (S. 377) und die Cauchysche Methode (S. 387), die sich auf den Fermatschen Satz gründet. Die Auflösung mit Zulassung komplexer, aber ganzzahliger Unbekannter s. [1], S. 598.
b) Während die Lösung der diophantischen Gleichungen ersten Grades in die niedere Analysis gehört, setzt die Auflösung derjenigen zweiten Grades eingehendere Kenntnisse in der Zahlentheorie voraus. Methoden finden sich in [1] für eine Gleichung mit 2 Unbekannten ohne lineare Glieder (S. 260), für die allgemeine Gleichung mit 2 Unbekannten (S. 336), für solche mit 3 Unbekannten (S. 483) – hierher gehört die pythagoräische Gleichung x2 + y2 = z2 – und solche mit 4 Unbekannten (S. 527), endlich auch für den Fall, daß komplexe Unbekannte zugelassen werden (S. 633).
c) Diophantische Gleichungen im weiteren Sinne sind solche Gleichungen zweiten und höheren Grades, deren Lösungen nicht ganzzahlig, sondern nur rational sein müssen.
Literatur: [1] Scheffler, H., Die unbestimmte Analytik, I-II, Hannover 1854. – [2] Berkhan, C.A. W., Lehrbuch der unbestimmten Analytik, I-II, Halle 1855–56. – [3] Schüler, W.F., Lehrbuch der unbestimmten Gleichungen des ersten Grades, I, Stuttgart 1897. – [4] Bachmann, P., Zahlentheorie, II, Abschnitt 2, Leipzig 1899. – [5] Wertheim, G., Anfangsgründe der Zahlentheorie, 4. Kap., Braunschweig 1902.
Wölffing.