Online-Bibliothek

Kugelfunktionen

[743] Kugelfunktionen heißen die Koeffizienten in der Entwicklung von

nach Zeigenden Potenzen von α.

Die n-Kugelfunktion ist:

also z.B. P⁽⁰⁾ (x) = 1; P⁽¹⁾ (x) = x; P⁽²⁾ (x) = ³/₂ (x² – ¹/₃) u.s.w. Die Kugelfunktionen können auch durch bestimmte Integrale dargestellt werden:

Sie genügen der Differentialgleichung:

Die Kugelfunktionen können wie die goniometrischen Funktionen zur Entwicklung der Funktionen in Reihen verwendet werden, die den Fourierschen analog sind. Der genannten Differentialgleichung genügen auch die Kugelfunktionen zweiter Art:

[743] Kugelfunktionen von zwei Veränderlichen ϑ und ψ heißen die Koeffizienten der Potenzen von r₁/r in der Entwicklung von

wenn ϑ₁ und ψ₁ konstant sind. Sie genügen der Differentialgleichung:

Es ist

für m = n;

wo die Integration im komplexen Gebiet auf einem Weg auszuführen ist, der die Punkte ± 1 und ihre Verbindungslinie umschließt.

Die Kugelfunktionen finden eine ausgedehnte Verwendung in der mathematischen Physik, namentlich bei der Wärmebewegung in einer Kugel.

Literatur: [1] Heine, Handbuch der Kugelfunktionen und der verwandten Funktionen, 2. Aufl., Berlin 1878/81. – [2] Meyer, G.F., Vorlesungen über die Theorie der bestimmten Integrale, Leipzig 1871. – [3] Neumann, Fr., Beiträge zur Theorie der Kugelfunktionen, Leipzig 1878. – [4] Neumann, C., Vorlesungen über mathematische Physik, Heft 6, Leipzig 1887. – [5] Frischauf, Vorlesungen über Kreis- und Kugelfunktionenreihen, Leipzig 1897.

Wölffing.