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Arithmetisch-geometrisches Mittel

[445] Arithmetisch-geometrisches Mittel. Seien a und b zwei beliebige positive reelle Größen. Bildet man aus ihnen das arithmetische Mittel a₁ = (a + b)/2 und das geometrische Mittel

dann aus a₁ und b₁ wieder das arithmetische und geometrische Mittel, nämlich

und

u.s.w., so nähern sich die Größen a₁ a₂, a₃ ... und b₁, b₂, b₃ ... einer gemeinsamen Grenze, welche nach Gauß das arithmetisch-geometrische Mittel von a und b genannt und mit M(a, b) bezeichnet wird. Es findet bei der Berechnung elliptischer Integrale Verwendung (s. etwa [3], § 44, S. 362 ff.); so ist z.B.

Zur direkten Bestimmung des arithmetisch–geometrischen Mittels kann eine Tafel von [445] Gauß [1], S. 403, für die Größen M (1, sin φ) und ihre Logarithmen dienen, deren Argument 2φ ist. Man hat nämlich, wenn a > b und sin φ = b/a, M (a, b) = a · M (1, sin φ).

Literatur: [1] Gauß' Werke, 2. Aufl., Göttingen 1876, Bd. 3, S. 361–403. – [2] Borchardt, Ueber das arithmetisch-geometrische Mittel, Crelles Journal für Mathematik 1861, Bd. 58, S. 127. – [3] Enneper, Elliptische Funktionen, Theorie und Geschichte, 2. Aufl., neu bearbeitet und herausgegeben von F. Müller, Halle a. S. 1890.

Mehmke.