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Basis [5]

[558] Basis (Grundlinie, Standlinie) nennt man bei trigonometrischen Bestimmungen diejenige durch unmittelbare Längenmessung erhaltene Linie, aus der weitere Linien rechnerisch abgeleitet werden sollen. – Eine »Basis« in einzelnen Anschlußdreiecken mit kurzen Seiten kommt vor bei der Zentrierung trigonometrischer Messungen (s. Triangulierung), bei dem Anschluß von Polygonzügen (s. Polygonisieren) an unzugängliche Punkte, beim Umgehen von Geländehindernissen u.s.w. Im allgemeinen versieht man aber unter einer Basis die einem Dreiecksnetze zugrunde liegende, unmittelbar gemessene Linie.[558] Bei einzelstehenden kleinen Dreiecksnetzen, die sich nur über ein beschränktes Gebiet erstrecken, z.B. bei der Vermessung einer einzelnen Gemarkung, wird eine geeignete Dreieckseite unmittelbar mit Meßlatten oder Meßband so genau wie möglich gemessen (s. Längenmessung); bei den ausgedehnten Dreiecksnetzen einer Landestriangulation erfordert die Messung jedoch besondere Apparate und Verfahren (s. Basismessung).

Da die Hauptdreieckseiten einer Landestriangulierung eine Länge von mindestens 30 km bis 60 km und darüber haben, so ist es praktisch unmöglich, eine solche Seite unmittelbar mit der erforderlichen Genauigkeit zu messen; es handelt sich daher darum, eine für die unmittelbare Messung geeignete kürzere Strecke auszuwählen und aus dieser auf trigonometrischem Wege eine dem Dreiecksnetze angehörende Seite abzuleiten. Damit hat also gewissermaßen eine trigonometrische Vergrößerung der unmittelbar gemessenen Länge stattzufinden. Wie stark diese Vergrößerung sein kann, ergibt sich aus dem Genauigkeitsverhältnis der Längen- und Winkelmessung und der Form und Anzahl der Rechnungsfiguren, wobei die Schwierigkeit der einzelnen Operationen, sowie ihre Dauer und Kosten in Rücksicht zu ziehen sind. Früher wählte man verhältnismäßig lange Basen (vgl. die Tabelle S. 560), späterhin kürzere. Ueber diesen Gegenstand sind eingehende Unterteilungen angestellt worden, von denen als erste besonders diejenige von Schwerd zu erwähnen ist, der in seiner Schrift. »Die kleine Speyerer Basis, oder Beweis, daß man mit einem geringen Aufwand an Zeit, Mühe und Kosten durch eine kleine genau gemessene Linie die Grundlage einer großen Triangulation bestimmen kann« [1], für Verwendung kürzerer Strecken eintrat, sowie diejenigen von Helmert [2] und Schreiber [3]. Diese Untersuchungen beziehen sich hauptsächlich auf die Anordnung des vergrößernden Netzes des »Basismultiplikationsnetzes«. Die günstigste Form desselben ist die »rhombische«, die entsteht, wenn zwei gleichschenklige Dreiecke mit ihrer Grundlinie aneinander gesetzt werden, wobei die längere Diagonale aus der kürzeren zu berechnen ist. Das Schema eines solchen Netzes zeigen die Dreiecke zwischen N-S und Gielsdorf-Bergheim in Fig. 2. Für die Vergrößerung kommen in erster Linie die spitzen Winkel in Betracht; diese sind daher am sorgfältigsten (d.h. mit entsprechend großem Gewicht) zu messen. In einem rationell angelegten Basisnetze sollen bei der Messung die Gewichte der Winkel derart angeordnet werden, daß unter der einmal gegebenen Netzform die günstigsten Resultate erzielt werden [3].

Die nebenstehenden Skizzen des Bonner Basisnetzes von 1847 und 1892 (Fig. 1 und 2) geben ein Beispiel für die Anordnung derartiger Netze und gleichzeitig ein Bild von dem Fortschritt auf diesem Gebiete, der in der Erzielung einer möglichst einfachen und zweckmäßigen Form besteht.

Aus den Messungen wird die Länge der gesuchten Dreiecksseite nach den Regeln der Ausgleichungsrechnung auf Grund der Methode der kleinsten Quadrate abgeleitet, wobei sich ein Urteil über die Genauigkeit der Uebertragung ergibt. – Die Länge der Basis muß auf die Berechnungsfläche (Meeresspiegel oder N.N., s. Erde) reduziert werden, wodurch dann alle trigonometrisch abgeleiteten Längen auf diese projiziert erhalten werden. – Das Prinzip dieser Reduktion ist das folgende: Sei B die (parallel zum Meeresspiegel) in der Meereshöhe H gemessene Basis, B_o die auf den Meeresspiegel reduzierte, und R der zugehörige Erdradius, so ist B₀ = B ∙ [R/(H + R)] und daraus die Reduktion B–B_o = B ∙ H/R.

Für ausgedehnte Landestriangulationen genügt nicht eine einzige Basis, weil bei sehr weitgehender trigonometrischer Uebertragung die Längenfehler infolge der Winkelfehler entsprechend zunehmen; es sind daher für größere Gebiete mehrere in entsprechenden Abständen angeordnete Basen erforderlich, so z.B. kommen auf das Gebiet der preußischen Landestriangulation neun Grundlinien. – Die nachstehende Tabelle gibt eine Uebersicht über einige Basen, die seit Snellius, dem Erfinder der trigonometrischen Methode, für die Entwicklung des in Rede stehenden Messungsverfahrens von besonderer Bedeutung gewesen sind.

[559] Literatur: S. Basismessung.

Reihertz.

Fig. 1., Fig. 2.