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Diskriminante

[779] Diskriminante.

a) Ist eine binäre Form n. Ordnung f(x, y) (s. Form) oder eine durch Nullsetzen derselben entstehende Gleichung f(x, y) = 0 gegeben, so heißt Diskriminante D diejenige Koeffizientenverbindung derselben, deren Verschwinden anzeigt, daß die algebraische Gleichung zwei gleiche Wurzeln besitzt. D ist vom Grad 2(n – 1) in den Koeffizienten a₀ a₁ ... an von f; sie ist eine Invariante. Man erhält D als Resultante von ∂f/∂x = 0 und ∂f/∂y = 0. Sind ferner α₁ α₂ ... α_n die Wurzeln der algebraischen Gleichung, so ist

D = (a₂ – α₁)² (α₃ – α₁)² ... (α_n – α₁)². (α₃ – α₂)² ... (α_n – α₂)² ..... α_n – α_{n – 1})²,

also gleich dem Produkt der Quadrate der Wurzeldifferenzen. Die Diskriminante von f · φ ist D von f mal D von φ mal Quadrat der Resultante von f und φ.

Für f = dx² + 2bxy + cy² ist D = ac – b².

Für f = ax³ + 3bx²y + 3cxy² + dy³ ist D = 4 (ac – b²) (bd – c²) – (ad – bc)².

Für f = ax⁴ + 4bx³y, + 5cx²y² + 4dxy³ + ey⁴ ist

D = (ae – 4bd + 3c²)³ – 27 (ace + 2bcd – ad² – b²e – c³)².

b) Ist eine ternäre Form n Ordnung f (x, y, z) oder eine durch Nullsetzen derselben entstehende Gleichung einer ebenen Kurve gegeben, so heißt Diskriminante D die Koeffizientenverbindung, deren Verschwinden die Existenz eines Doppelpunktes (s. Punkte) der betreffenden

Kurve anzeigt. Sie ist Resultante von ∂f/∂x = 0, ∂f/∂y = 0, ∂f/∂z = 0, und vom Grad 3 (n – 2)².

Die Diskriminante der Kegelabschnittgleichung ax² + 2bxy + cy² + 2dxz + 2eyz + fz² =0 ist

sie verschwindet, wenn der Kegelschnitt in ein Geradenpaar zerfällt.

c) Bei quaternären Formen bezw. Flächengleichungen zeigt das Verschwinden der Diskriminante die Existenz eines Knotenpunktes (s. Punkte) an u.s.w.

Literatur: [1] Baltzer, Theorie und Anwendung der Determinanten, 5. Aufl., Leipzig 1881, S. 135. – [2] Salmon, G., Vorlesungen über die Algebra der linearen Transformationen, deutsch von W. Fiedler, 2. Aufl., Leipzig 1877, 11. und 16. Vorles. – [3] Gordan, P., Vorlesungen über Invariantentheorie, herausgeg. von Kerschensteiner, Bd. 1, § 14. – [4] Faà di Bruno, Einleitung in die Theorie der binären Formen, deutsch von Walter, Leipzig 1881, § 7. – [5] Hagen, J., Synopsis der höheren Mathematik, Bd. 1, Berlin 1891, S. 197 ff.

Wölffing.