Resultante [1]

[412] Resultante eines Systems von n Gleichungen in n Veränderlichen ist eine ganze Funktion der Koeffizienten, die verschwinden muß, wenn die gegebenen Gleichungen ein gemeinsames Wertesystem der Veränderlichen haben sollen.

Die Resultante ändert sich nur um einen konstanten Faktor, wenn die Veränderlichen oder auch die Funktionen auf der linken Seite der Gleichungen einer linearen Transformation unterworfen werden. Sie ist daher nicht nur eine Invariante, sondern auch eine Kombinante.[412] Sind m₁ m₂ ... m_n die Gerade der Gleichungen in den Veränderlichen, so ist die Resultante vom Grad m₂ ... mn in den Koeffizienten der ersten ..., vom Grad m₁ m₂ ... m_{n –} ₁ in den Koeffizienten der n-Gleichung. Ist R (f, φ) die Resultante von f = 0 und φ = 0, so ist R (f, φ · ψ) = R (f φ) · R (f, ψ). Zerfällt die Resultante in Faktoren und sind unter diesen solche, welche nur Konstante enthalten, so entsteht durch Division mit diesen die sogenannte reduzierte Resultante. Die Resultante zweier binären Formen f = a₀ x₁^m + a₁ x₁^{m –} ¹ x₂ + ... + a_m x₂^m und φ = b₀ x₁ⁿ + b₁ x₁^{n –} ¹ x₂ ... + b_n x₂ⁿ ist vom Grad n in den Koeffizienten von f und vom Grad m in den Koeffizienten von φ. Sie kann beispielsweise für m = 3, n = 2 geschrieben werden:

Sind m und n einander gleich, so kann sie als m-reihige Determinante geschrieben werden, z.B. für m = n = 3:

(Bézoutsche Form). Sind ferner α₁ ... α_m die Wurzeln von f = 0, ß₁ ... ß_n die Wurzeln von φ = 0 (indem man x₂ = 1 gesetzt denkt), so ist die Resultante

(Darstellung durch die Wurzeln). Die gemeinsame Wurzel f = 0 und φ = 0 ergibt sich aus einer der Gleichungen:

Ferner genügt die gemeinsame Wurzel der Gleichung

wo J die Funktionaldeterminante von f und φ ist, und sie erfüllt, wenn m = n, auch die Gleichungen

Die Resultante der quadratischen Formen a₀ x² + a₁ x + a₂ und b₀ x² + b₁ x + b₂ ist (a₀ b₁ – a₁ b₀) (a₁ b₂ – a₂ b₁) – 4 (a₀ b₂ – a₂ b₀)². Die Resultante von irgend welchen linearen Formen ist deren Funktionaldeterminante. Die Resultante dreier Kurvengleichungen in der Ebene oder von vier Flächengleichungen im Raum ist die Bedingung, daß die Kurven bezw. Flächen einen gemeinsamen Punkt haben. – S.a. Elimination.

Literatur: [1] Baltzer, R., Theorie und Anwendung der Determinanten, 5. Aufl., Leipzig 1881, § 11. – [2] Salmon, G., Vorlesungen über die Algebra der linearen Transformationen, deutsch von Fiedler, 2. Aufl., Leipzig 1877, Vorl. 8–10. – [3] Gordan, Vorlesungen über Invariantentheorie, herausgegeben von Kerschensteiner, I, Leipzig 1885, 11 und 13. – [4] Faà di Bruno, Einleitung in die Theorie der binären Formen, deutsch von Walther, Leipzig 1881, §§ 5–6. – [5] Serret, Handbuch der höheren Algebra, deutsch von Wertheim, 2. Aufl., Bd. 1, Leipzig 1878, 2. Teil, Kap. 5. – [6] Hagen, G., Synopsis der höheren Mathematik, 1. Bd., Berlin 1891, S. 193–200. – [7] Katter, Ueber die Resultante zweier algebraischen Gleichungen n-ten Grades, Rostock 1875. – [8] Foethke, Anwendung des erweiterten Euklidischen Algorithmus auf Resultantenbildungen, Königsberg 1907.