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Dreikant

[104] Dreikant, eine von drei durch einen Punkt gehenden Ebenen begrenzte körperliche Ecke.

Die drei Ebenen schneiden sich nach den Kanten des Dreikants; letzteres besitzt drei Seiten und drei Flächenwinkel. Erstere sind gebildet durch die Kanten, letztere durch die Flächen des Dreikants. Der sowohl den Flächen wie den Kanten gemeinsame Punkt heißt die Spitze des Dreikants. Durch die Ebenen A B, A C, B C entstehen im ganzen acht Dreilaute, nämlich: s (A B C), s (A' B' C'), s (A B C'), s (A C B'), s (B C A'), s (A' B' C), s (A' C' B) und s (B' C' A). Wählt man im Winkelräume eines Dreikants einen Punkt und fällt von ihm Senkrechte zu den Seiten des Dreikants, so entsteht ein neues Dreikant, dessen Kanten zu den Flächen des ersten Dreikants senkrecht stehen und in dem die Seiten- bezw. Flächenwinkel die Flächen- bezw. Seitenwinkel des ursprünglichen Dreikants zu je 180° ergänzen, weshalb das zweite Dreikant auch das Supplementär- oder Polardreikant der ersten heißt. Bei jedem Dreikant ist die Summe der drei Seitenwinkel stets kleiner als 360°, die Summe der drei Flächenwinkel stets kleiner als 180°; außerdem ist die Summe bezw. Differenz zweier Seitenwinkel stets größer bezw. kleiner als der dritte Seitenwinkel. Bei der Darstellung eines Dreikants durch Projektion läßt man zweckmäßig stets eine Projektionsebene mit einer Seitenfläche zusammenfallen, während die zweite Projektionsebene zu einer Kante senkrecht fleht. In der Figur ist ein Dreikant s (A B C) nebst dem dazugehörigen Supplementardreikant s (A B C) durch Grund- und Aufriß gezeichnet; außerdem sind sowohl von den Seiten- wie den Flächenwinkeln die wahren Größen konstruktiv ermittelt. Das Polardreikant s (A B C) ist bestimmt durch die drei Tangentialebenen in den Schnittpunkten der Dreikantskanten A, B, C mit einer mit dem Dreikant s (A B C) konzentrischen Kugel. Das Dreikant spielt in der Raumgeometrie eine ähnliche Rolle wie das Dreieck in der Geometrie der Ebene. Es ist stets geometrisch darstellbar, wenn man von ihm drei voneinander unabhängige Stücke kennt. Hieraus ergeben sich sechs Fundamentalaufgaben über das Dreikant. Es können nämlich gegeben sein: 1 die drei Seitenwinkel, 2. zwei Seitenwinkel und der eingeschlossene Flächenwinkel, 3. zwei Seitenwinkel und der einem der beiden gegebenen Seitenwinkel gegenüberliegende[104] Flächenwinkel, 4. ein Seitenwinkel und die beiden anliegenden Flächenwinkel, 5. ein Seitenwinkel sowie ein anliegender und ein gegenüberliegender Flächenwinkel, 6. die drei Flächenwinkel. – Im ersten Falle legt man die gegebenen drei Seitenwinkel A B, A C und B C aneinander in die Projektionsebene, schlägt um s₁ mit einem beliebigen Halbmesser den Kreis K, der die umgelegten Kanten in c' und c'' schneidet. Mittels c' und c'' bestimmt sich c₁ und aus c' und c₁ auch c₂, womit das Dreikant dargestellt ist. Im Falle 2. in A B, A C und A gegeben, dann kennt man zunächst die beiden Vierecke s₁ a₁ c₁ b₁ und s₁ a₁ b' c' sowie von dem Vierecke a₁ b'''' s'''' c₁ die Punkte a₁, b'''' und c₁; da aber b'''' s'''' auf a₁ b'''' senkrecht steht, so ist auch der Punkt s'''' bestimmt, woraus die übrigen Begrenzungsflächen des von den beiden Dreikanten s (A B C) und s (A B C) begrenzten Körpers gezeichnet werden können. Es ergibt sich zunächst aus a₁ s'''' = a₁ s₀ der Punkt s₀ und damit die Linie s₁ s₀; die Senkrechte a₁ m₀ zu s₁ s₀ gibt den Halbmesser des dem Dreieck a b c im Räume umbeschriebenen Kreises; es läßt sich nunmehr das dem Dreieck a b c kongruente Dreieck a₁ b₁ c₀ zeichnen, womit sich b₁ c₀ und damit auch die Länge von b₁ c'', d.h. der Punkt c'' ergibt. Im Falle 3. sind gegeben die Seitenwinkel A B, A C und der Flächenwinkel B; man kennt die beiden Vierecke s₁ a₁ c₁ b₁ und s₁ a₁ b' c', womit auch p gegeben ist. Zeichnet man nun das rechtwinklige Dreieck p u v, dessen eine Seite auf s₁ b₁ senkrecht steht und das bei u den Winkel B enthält, so ergibt sich aus v der Punkt v'' und damit die Linie v'' q als Tangente an den Kreis K. Die Fälle 4, 5 und 6 sind mit Bezugnahme auf das Polardreikant gleichbedeutend mit den Fällen 2, 3, 1.

Vonderlinn.