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Elliptische Räder [1]

[438] Elliptische Räder geben, als Zahnräder mit elliptischem Teilriß, periodisch wechselndes Uebersetzungsverhältnis.

Man benutzt sie in der Regel in Verbindung mit einem Kurbelgetriebe, entweder nach Fig. 1 so, daß zwei Ellipsenräder, je um einen Brennpunkt drehbar, dem Schlitten ziemlich gleichmäßigen Vorschub und schnellen Rücklauf geben, z.B. an Feilmaschinen; oder so, daß beide Räder, um den Mittelpunkt drehbar, dem Schlitten fast gleichmäßige Geschwindigkeit auf dem Hingang und ebenso auf dem Rückgang erteilen; im letzten Fall kann nach Fig. 2 das Antriebrad durch ein kreisrundes, exzentrisch gelagertes Rad mit halb so viel Zähnen ersetzt werden, z.B. an Langlochbohrmaschinen und Spulmaschinen.

Die Zahnform wird als Evolvente durch Abwicklung einer Geraden auf einer innerhalb des Teilriffes liegenden konfokalen Ellipse (an Stelle des Grundkreises) für jeden Zahn des Quadranten besonders konstruiert [1]. Näherungsweise darf man, wenn die Räder wie in Fig. 1 fast kreisförmig sind, ringsum gleiche Zähne setzen und gießen. Um für beide Räder in Fig. 1 nur ein Modell zu brauchen, muß man eine[438] ungerade Zähnezahl wählen, wogegen das Rad in Fig. 2 eine gerade Zähnezahl haben muß.

In Fig. 1 steht der Schlitten und die Kurbel R im linken Totpunkt T₁. Das treibende Rad m dabei um den Winkel α aus der Mittelstellung ausgeschlagen. Bei gleichmäßiger Umdrehung mit nU/M verhalten sich die Bogen 2 α : 360 – 2 α oder 180 – ß : 180 + ß zwischen den Totpunktstellungen wie die dazu verbrauchten Zeiten und wie die durchschnittlichen Geschwindigkeiten des Schlittens beim Vor- und Rücklauf cv : cr. Es ist cv = 2 Rn 360/60 (180 + ß) und cr = 12 Rn(180 – ß). Für ein bestimmtes Rücklaufverhältnis cr : cv muß α = 180/(1 + cr : cv) sein. Das Achsenverhältnis der Ellipsen soll der Bedingung entsprechen (b/a)² = 2 sin α/(l + sin α), oder das Verhältnis der Radien r₁/r₂ = ctg ¹/₂ a. Dabei ist 2 a = r₁ + r₂ auch gleich dem Wellenabstand; die Exzentrizität

r₁ = a + e; r₂ = a – e.

Soll z.B. cr : cv = 2 sein, so wird α = 60 und ß = 60°; dazu r₁/r₂ = ctg 30° = 1,73; angesetzt zu r₁ = 260 und r₂ = 150 mm. Folglich ist 2 a = 410 und e = 55, ferner 2 b = 395, also nicht viel kleiner als der große Durchmesser. Bei R = 155 mm und n = 9,7 U/M wird cv = 75 und cr = 150 mm/sec. Die Schlittengeschwindigkeit in der Bahnmitte beim Verlauf wird (2 π r₂ n/60) · (R/r₁) = 157 r₂/r₁ = 90; die Geschwindigkeit mitten im Rücklauf wird 157 r₁/r₂ = 270, ist also im Verhältnis (r₁/r₂)² = 3 mal so groß als der vorige Wert. Bei einer Drehung der Kurbel um 45° aus der gezeichneten Totlage nach unten wird das erste Rad mit einem Radius von 175 mm auf das zweite mit 235 mm treiben, so daß die Schlittengeschwindigkeit (157 · 175/235) · sin 45 = 82 mm/sec betragen wird u.s.w., wie die rechts über der Schlittenbahn gezeichnete Kurve der Geschwindigkeiten anzeigt. – Im Totpunkte ist die Geschwindigkeit des Kurbelzapfens U = 157 · 220/190 = 182 = 0,182 m/sec, und die Beschleunigung des Schlittens U²/R = 0,182²/0,155 = 0,21 oder genauer 0,21 (1 ± R/l) für T₂ und T₁ bei der Schubstangenlänge l.

In Fig. 2 geht das Ellipsenrad langsam, während der Schlitten durch die Bahnmitte gleitet, und schnell an den Totpunkten. Die durchschnittliche Geschwindigkeit des Schlittens für Hin- und Rückgang ist cv = cr 2 · 2 R n₂/60 = 2Rn₁/60; die Geschwindigkeit in der Bahnmitte ist vm = 2 π (r – e) n₁ R/60 a. (Dieser Wert wird gleich dem vorigen, wenn a = 1,32 b ist.) Angenähert ist r = ¹/₄ (a + b); die Exzentrizität muß e = ¹/₂ (a – b) sein, und der Achsenabstand ist A = a + r + e = b + r – e = ³/₄ (a + b). Genauer muß der Teilkreisumfang 2 π r gleich der Hälfte des Ellipsenumfangs

sein.

Z.B. sei a = 150, b = 125 mm. Der Umfang π (275) [969/968]² = π 275 · 1,002 = 866 soll = 2 · 2 π r sein, woraus r = 69 folgt. Mit e = 12,5 wird A = 206,5 mm. Wäre etwa n₁ = 4 und R = 75, so käme c = 10 und vm = 12 mm/sec; bei 45° Kurbelstellung, wobei nach Abmessung die Radien 72,5 auf 134 mm treiben, wird v = 12.

Literatur: [1] Civilingenieur 1875, S. 223.

Lindner.

Fig. 1.

Fig. 2.