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Elliptische Functionen

[651] Elliptische Functionen (Elliptische Transscendenten), Functionen, deren Integrale von der Länge elliptischer Bogen abhängen, die bei gegebenen Halbachsen einer gewissen Abscisse entsprechen. Sie sind alle begriffen in dem Integrale:

worin R eine rationale Function von x ist u. a, b, c, d, e constante reelle Größen bezeichnen. Dies Integral läßt sich nach Legendre auf jenes[651]

so wie dieses auf das

u. endlich dieses auf die Form

zurückführen. Daher theilt Legendre die E. F. in 3 Gattungen, nämlich, wenn man mit ihm √ (1 – γ² sin²φ) = Δ setzt, in

F = ∫ dφ/Δ E = ∫ Δdφ und Π = ∫ dφ/[(1 + n²sin²φ)Δ].

Die ersten Arbeiten über diesen Gegenstand lieferten Fagnani (1718), Landen, Lagrange u. Euler; Legendre prüfte jene Forschungen u. erweiterte sie; Jacobi (Nova theoria functionum ellipticarum, Königsb. 1829) u. Abel bildetendiese Lehre weiter aus.