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Hyperelliptische Integrale und Funktionen

[164] Hyperelliptische Integrale und Funktionen. Ein Integral heißt hyperelliptisch, wenn unter dem Integralzeichen ein Ausdruck √X vorkommt, wo X[164] ein Ausdruck vom p-Grad in x und p > 4 ist; es heißt insbesondere ultraelliptisch, wenn p gleich 5 oder 6 ist.

Die hyperelliptischen Integrale zerfallen wie die elliptischen (s.d.) in drei Gattungen, je nachdem sie für keinen Wert von x unendlich oder für einen Wert von x algebraisch unendlich oder für zwei Werte von x logarithmisch unendlich werden. Sie sind (p – 2)– oder (p – 1) fach unendlich vieldeutig, je nachdem p gerade oder ungerade ist.

Hyperelliptische Funktionen entstehen durch Umkehrung der hyperelliptischen Integrale. Doch kann z.B. in dem ultraelliptischen Integral

wo

ist, nicht die obere Grenze x als Funktion des Integrals u bestimmt werden. Es müssen vielmehr x und y aus den beiden Gleichungen:

als Funktionen von u und v bestimmt werden (ultraelliptische Funktionen), x und y lind die Wurzeln einer quadratischen Gleichung, deren Koeffizienten durch ultraelliptische Thetafunktionen (s. Thetafunktionen) von u und v ausgedrückt werden, x und y sind vierfach periodisch.

Literatur: [1] Königsberger, Vorlesungen über die Theorie der hyperelliptischen Integrale, Leipzig 1878. – [2] Neumann, Vorlesungen über Riemanns Theorie der Abelschen Integrale, 2. Aufl., Leipzig 1884. – [3] Ohnesorge, A., Hyperelliptische Integrale und Anwendungen auf Probleme der Mechanik, Berlin 1889.

Wölffing.