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Symmetrische Funktionen

[401] Symmetrische Funktionen, solche Funktionen der Wurzeln x₁ x₂ ... x_n einer gegebenen Gleichung xⁿ + p₁ x^{n – 1} + p₂x^{n – 2} + ... p_{n – 1} x + p_n = 0, die bei Vertauschung von irgend zweien der Wurzeln ihren Wert nicht ändern.

Die Koeffizienten der Gleichung sind (abgesehen vom Vorzeichen) symmetrische Elementarfunktionen der Wurzeln, d.h. solche symmetrische Funktionen, die in bezug auf jede einzelne Wurzel vom ersten Grad sind. Für n = 4 ist z.B.

Allgemein ist p_r = (–1)^r Σ x₁ x₂ ... x_r. Die Potenzsummen

lassen sich durch die Elementarfunktionen ausdrücken mittels der Newtonschen Formeln

Durch diese Rekursionsformeln ergeben sich die Potenzsummen als Funktionen der Koeffizienten und umgekehrt. Jede symmetrische Funktion φ der Wurzeln kann nur auf eine Art als ganze Funktion der Elementarfunktionen p_i dargestellt werden, d.h.

kann geschrieben werden

In der ganzen Funktion rechts ist für jedes einzelne Glied

ρ₁ + 2ρ₂ + 3ρ₃ + ... + n ρ_n = λ₁ + λ₂ + ... + λ_n

1.

also konstant; diese Größe heißt Gewicht der symmetrischen Funktion, während λ₁ als Grad bezeichnet wird. Ist z.B. n = 4, so ist Σ x₁² x₂ x₃ = – p₁ p₃ – p₄ Grad 2 Gewicht 4;

Σ x₁³ x₂ x₃ = – p₁² p₃ + p₁ p₄ + 2p₂ p₃ Grad 3, Gewicht 5.

Weil

sein muß, kann man in dem Ausdruck für φ die einzelnen Glieder dadurch bestimmen, daß man alle Werte von ρ₁... ρ_n wählt, die den Gleichungen 1. und 2. genügen. Alsdann bestimmt man die Koeffizienten µ durch Einsetzen der Wurzeln von speziellen Gleichungen, deren Wurzeln bekannt sind; z.B. für φ = Σ x₁² x₂² x₃ x₄ x₅ ergibt sich

also

φ = µ₁ p₇ + µ₂ p₁ p₆ + µ₃ p₂ p₅ + µ₄ p₃ p₄

Die Gleichungen (x – 1)⁵ = 0; (x – 1)⁶ = 0; (x – 1)⁷ = 0; (x – 1)⁸ = 0, die sämtliche Wurzeln gleich 1 haben, ergeben durch Einsetzen

10 = – 10µ₃ – 50µ₄; 60 = – 6µ₂ – 90µ₃ – 300µ₄; 210 = – µ₁ – 45µ₂ – 441µ₃ – 1125µ₄; 560 = – 8µ₁ – 224µ₂ – 1568µ₃ – 320µ₄.

Hieraus folgt

µ₁ = –14; µ₂ = 5; µ₃ = – 1; µ₄ = 0; Σ x₁² x₂² x₃ x₄ x₅ = – 14p₇ + 5p₁ p₆ – p₂ p₅.

Die symmetrischen Wurzeln sind wichtig für die Theorie der Gleichungen.

Literatur: [1] Salmon, G., Vorlesungen über die Algebra der linearen Transformationen, deutsch von Fiedler, 2. Aufl., Leipzig 1877, Vorlesung 7. – [2] Serret, Handbuch der höheren Algebra, deutsch von Wertheim, 2. Aufl., I, Leipzig 1878, 2. Teil, Kap. 1–2. – [3] Faà di Bruno, Einleitung in die Theorie der binären Formen, deutsch von Walter, Leipzig 1881, 1. Abschn. – Tafeln von symmetrischen Funktionen finden sich in [1] und [3].

Wölffing.