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Kegelfläche [1]

[418] Kegelfläche (Kegel), der Ort einer Geraden (Erzeugenden), die immer durch einen festen Punkt (Spitze) geht und eine gegebene Kurve (Leitkurve) schneidet. Jede einzelne Lage der Geraden heißt Mantellinie. Die Kegelfläche hat zwei Mäntel, die in der Spitze zusammenhängen.

Die Gleichung einer beliebigen Kegelfläche n-Ordnung mit den Koordinaten a, b, c der Spitze ist F (x – a/z – c, y – b/z – c) = 0, wo F eine Funktion n-Ordnung; ihre Differentialgleichung ist

(x – a) ∂z/∂x + (y – b) ∂z/∂y = z – c.

Die Tangentialebene in jedem Punkt geht durch die Spitze und berührt die Fläche längs der ganzen Mantellinie. Die Gleichung der Kegelfläche mit Spitze (a, b, c) und Leitkurve F (x, y, z) = 0/ G (x, y, z) = 0 erhält man durch Elimination von x, y, z aus diesen Gleichungen und x – a = μ (z – c)/ y – b = ν (z – c) sowie Elimination von μ und ν aus der entstehenden Resultante und den beiden eben genannten Gleichungen. Die Tangenten an eine Fläche n-Ordnung F (x, y, z) = 0 von einem Punkt (a b c) außerhalb derselben bilden einen Kegel n (n – 1)-ter Ordnung mit der Leitkurve

Die Fläche F = 0 ist ein Kegel mit Spitze (a, b, c), wenn (x – a) ∂F/∂x + (y – b) ∂F/∂y + (z – c) ∂F/∂z = 0 unabhängig von x, y, z.

Die Kegelflächen sind dualistisch zu den ebenen Kurven; sie werden daher in Ebenenkoordinaten durch zwei Gleichungen (darunter eine lineare) dargestellt. Ein Kegel zweiter Ordnung kann durch zwei projektivische Ebenenbüschel erzeugt werden, deren Achsen sich schneiden. Als Fläche zweiter Ordnung besitzt der Kegel zweiter Ordnung drei Hauptachsen. Mit diesen als Koordinatenachsen ist seine Gleichung λ (x – a)² + μ (y – b)² + ν (z – c)² = 0; der Kegel ist imaginär oder reell, je nachdem λ, μ, ν alle gleiche Zeichen haben oder nicht. λ = μ liefert den Drehungskegel um die z-Achse; λ = μ = ν den Kegel, dessen Leitlinie der imaginäre Kugelkreis ist. Die Fläche zweiter Ordnung a₁₁ x² + 2 a₁₂ x y + ... + a₄₄ = 0 ist eine Kegelfläche, wenn

Ein Flächenbüschel zweiter Ordnung enthält vier Kegelflächen, die teilweise zusammenfallen, wenn die Flächen des Büschels einander berühren. Die Schnittkurve eines Kegels zweiter Ordnung mit einer Ebene ist eine Kurve zweiter Ordnung (Kegelschnitt), und zwar eine Ellipse oder Hyperbel, je nachdem die Schnittebene einen oder beide Kegelmäntel trifft, eine Parabel, wenn die Ebene einer Mantellinie parallel ist, ein Geradenpaar, wenn sie durch die Spitze geht. Parallele Kegelschnitte sind ähnlich. Für jeden Kegel zweiter Ordnung gibt es zwei Stellungen von Ebenen, welche Kreisschnitte liefern; beim Drehungskegel fallen diese zusammen. Der Teil der Kegelfläche von der Spitze bis zu einem Kreisschnitt ist ein stereometrischer Kegel (im allgemeinen ein schiefer, beim Drehungskegel ein gerader, s. Kegel). Die Schnittkurven eines Kegels zweiter Ordnung mit einer konzentrischen Kugel heißen sphärische Kegelschnitte.

Literatur: Salmon, G., Analytische Geometrie des Raumes, deutsch von Fiedler, 3. Aufl., Leipzig 1879, 1. Teil, Kap. 10.

Wölffing.