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Tautochrone

[423] Tautochrone ist eine Kurve, auf welcher ein schwerer Punkt M von einer Anfangslage M₀ ohne Geschwindigkeit abgehend zu einem tiefer gelegenen Punkt O in der Zeit T fällt, welche dieselbe bleibt, mag M₀ auf der Kurve irgend eine beliebige Lage haben.

Sei die Kurve zunächst eine ebene, bezogen auf vertikale und horizontale Achsen der x und y und h und x die vertikalen Koordinaten von M₀ und M, so ist der Bogen O M = s als eine Funktion s = φ(x) so zu suchen, daß die Fallzeit T unabhängig von h, d.h. d T/d h = 0 wird. Nun bestehen für die Geschwindigkeit des Punktes M die Gleichungen v = – ds/dt und ¹/₂v² = g (h – x), woraus gewonnen wird

und es führt die Bedingung d T/d h = 0 zur Gleichung 2x φ'' (x) + φ''(x) = 0, deren Integral s = φ(x) = 2√(a x) ist, welche Gleichung eine Zykloide darstellt, deren Scheitel O ist, und welche ihre Konkavität nach oben kehrt. – Zieht man durch die Punkte der Zykloide die Vertikalen und rollt die Ebene derselben zu einem Zylinder ab, dessen Erzeugungslinien vertikal sind, so geht die Zykloide je nach der Biegung des Zylinders in eine Kurve doppelter Krümmung mannigfacher Art über, für welche die Eigenschaft des Tautochronismus fortbesteht. – Die Entdeckung der Tautochronen gebührt Huyghens [1]. Newton [2] und Euler [3] haben das Problem der Tautochronen für eine beliebige Beschleunigung an Stelle der Beschleunigung g der Schwere erweitert, und Abel hat dasselbe dahin verallgemeinert, daß die Fallzeit T eine gegebene Funktion T = φ(h) der Fallhöhe r wird (s. Abelsches Problem); vgl. a. [4]–[7].

Literatur: [1] Huyghens, Horologium oscillatorium, P. II., prop. 25. – [2] Newton, Principia philosophiae naturalis mathematica, lib. I, prop. 53. – [3] Euler, Commentarii Academiae Petropolitanae 1729. – [4] Jullien, Problèmes de mécanique rationnelle, Tome I, p. 374 ff. – [5] Schell, Theorie der Bewegung und der Kräfte, 2. Aufl., Leipzig 1879/80, Bd. 1, S. 405 bis 408. – [6] Appell, Traité de mécanique rationnelle, T. I, S. 302 u. 428 ff. – [7] Ohrtmann, Das Problem der Tautochronen; Jahresber. d. Kgl. Realschule, Vorschule u. Elisabethenschule zu Berlin 1872, enthält eine Geschichte des Problems der Tautochrone.

(† Schell) Finsterwalder.