Arithmetische Theilung

[82] Arithmetische Theilung. (Musik)

Die ältern Tonlehrer sprechen vielfältig von der arithmetischen und von der harmonischen Theilung der Intervallen; deswegen bedürfen diese Wörter einer Erklärung, und um so viel mehr, da sie itzt anfangen, aus der Mode zu kommen.

Es ist natürlich zu vermuthen, daß die größern Intervallen in der Musik eher bekannt gewesen sind, als die kleinen, und daß die Octave eher, als die Quinte, diese eher als die Terz bekannt gewesen sey. Die Alten versuchten zwischen die Töne, welche ein größeres Intervall ausmachen, noch einen oder mehr Töne hinein zusetzen, und dieses thaten sie auf zweyerley Weise; daher denn die arithmetische und die harmonische Theilung der Intervallen entstanden ist.

Dieses zu verstehen, muß man sich die Länge der Sayten, deren Töne ein Intervall ausmachen, in Zahlen vorstellen. Zwey Sayten, eine 60 Theile (z. E. Zolle) lang, die andre dreyßig, geben, wie bekannt, das Intervall einer Octave.1 Will man zwischen diese beyden Töne noch einen in die Mitte setzen, so muß zwischen beyden Sayten von 60 und von 30 Theilen, eine angenommen werden, deren Länge mitten zwischen 60 und 30 fällt. Diese wird arithmetisch bestimmt, wenn die Zahl das arithmetische Mittel hält, das ist, wenn sie um eben so viel Theile von 60 als von 30 absteht, oder wenn sie 45 Theile hat. Will man aber das Intervall harmonisch ausfüllen, so muß die mittlere Zahl das harmonische Mittel seyn,2 nämlich 40.

Demnach stellen die drey Zahlen, 60, 45, 30, eine Octave vor, die arithmetisch getheilt ist, und die Zahlen, 60, 40, 30, eine harmonisch getheilte Octave. Im ersten Fall ist das Intervall, 60:45 oder 4:3 eine Quarte: das andre 45:30 oder 3:2 eine Quinte; im andern Fall ist 60:40 oder 3:2 eine Quinte, und 40:30 oder 4:3 eine Quarte. Daher sagte man, die Octave C-c werde durch die Quarte F arithmetisch, und durch die Quinte G harmonisch getheilt, und die arithmetische Theilung der Octave gebe die Quarte unten C-F und die Quinte oben F-c, die harmonische aber gebe diese Intervalle umgekehrt; erst die Quinte C-G und denn die Quarte G-c.

Auf diese doppelte Weise pflegte man ehedem alle größeren Intervalle auszufüllen. Die Quinte 60:40. arithmetisch getheilt, giebt 60:50:40. oder die kleinere Terz ⁵/₆ unten, und die größere ⁴/₅ oben; hingegen harmonisch getheilt giebt sie 60:48:40. die größere Terz ⁴/₅ unten, und die kleinere ⁵/₆ oben.

Auf eben diese Art kann man auch den Raum der Octave durch zwey neue Töne ausfüllen, so wol arithmetisch, als harmonisch. Im ersten Fall bekömmt man 60:50:40:30; oder die kleine Terz, ⁵/₆, die Quinte ⁴/₆ oder ²/₈ und die Octave 60:30 oder ¹/₂; im andern Fall aber 60:48:40:30. oder die große Terz 60:48 oder ⁴/₅, die Quinte 60:40 oder ²/₃ und die Octave. Hieraus entstund die Anmerkung, daß die arithmetische Theilung der Octave durch zwey Töne die weiche oder kleine Tonart, die harmonische aber, die harte oder große Tonart, angebe.

Da die Quinte ein vollkommeners Intervall ist, als die Quarte, die größere Terz vollkommener, als die kleinere, so haben die ältern Tonlehrer überhaupt gesagt: die harmonische Theilung sey für die Musik besser, als die arithmetische.

Da überhaupt diese Art, sich den Ursprung der Intervalle vorzustellen, von den Neuern selten gebraucht wird, so hat diese Erklärung itzt weiter nichts mehr auf sich, als daß man dadurch die Sprache der ältern Tonlehrer verstehen lernt.