Normale

[660] Normale, a) einer ebenen Kurve das Lot auf der Tangente im Berührungspunkt.

Die Normale der Kurve f (x, y) = 0 in (x, y) ist (ξ – x) ∂f/∂y = (η – y) ∂f/∂x (ξ, η, laufende Koordinaten); diejenige der Kurve y = φ (x) ist (ξ – x) + (η – y) y' = 0 Die Normale schneidet auf den Achsen die Stücke x + y y' bezw. y + x/y' ab; ihre Länge bis zur x-Achse ist y √1 + y'². Die Normale. in einem unendlich fernen Punkt fällt mit der unendlich fernen Geraden, diejenige in den unendlich fernen Kreispunkten aber mit der Tangente zusammen. Ist die Kurve ein Kegelschnitt, so ist das Produkt der Abschnitte der Normale vom Berührungspunkt P bis zu den Achsen gleich dem Quadrat des zum Halbmesser von P konjugierten Halbmessers; ferner der Abschnitt der Normale von P bis zur großen Achse mal dem Lot vom Zentrum auf die Tangente gleich dem Quadrat der kleinen Halbachse. Von einem Punkt außerhalb des Kegelschnitts gehen an denselben vier Normalen, deren Fußpunkte auf einer gleichzeitigen Hyperbel liegen, und von denen immer mindestens zwei reell sind. Die Normale kann auch angesehen werden als der Strahl durch den Berührungspunkt der Tangente, welcher zu dieser in bezug auf die zwei unendlich fernen Kreispunkte konjugiert ist. Treten an Stelle der letzteren zwei beliebige Punkte, so geht die Normale in eine sogenannte Quasinormale über. Zwei aufeinander folgende Normale schneiden sich im Mittelpunkt des Krümmungskreises. Der Ort der letzteren ist die Evolute.

b) Normale einer Raumkurve ist im allgemeinen jede im Berührungspunkt auf der Tangente senkrechte Gerade.

Es gibt deren unendlich viele. Insbesondere aber unterscheidet man als Hauptnormale die in der Schmiegungsebene liegende und als Binormale die auf dieser senkrechte Normale.[660]

Sind x = φ (t); y = ψ (t); z = χ (t) die Gleichungen der Raumkurve, so sind die Gleichungen der Hauptnormale ξ – x : η – y : ζ – z = x'' : y'' : z''; diejenigen der Binormale

wo die Striche Ableitungen nach t bedeuten.

c) Normale einer Fläche ist die im Berührungspunkt auf der Tangentialebene senkrechte Gerade.

Die Normale der Fläche F (x, y, z) = 0 ist ξ – x : η – y : ζ – z = ∂F/∂x : ∂F/∂y : ∂F/∂z; diejenige der Fläche z = φ (x, y) ist ξ – x : η – y : ζ – z = ∂z/∂x : ∂z/∂y : – 1. Jede Normale schneidet die in zwei aufeinander senkrechten Fortschreitungsrichtungen benachbarten Normalen. Die aufeinander folgenden sich schneidenden Normalen bilden die abwickelbare Normalenfläche, welche auf der Fläche eine Krümmungslinie ausschneidet. Die Rückkehrkanten aller Normalenflächen bilden die Zentralfläche der gegebenen Fläche.