Auftrieb [1]

[369] Auftrieb heißt man die algebraische Summe der Vertikalkomponenten der Pressung einer Flüssigkeit gegen die Oberfläche eines in dieselbe eingetauchten Körpers, wenn die Resultante dem Sinne nach entgegengesetzt wie die Schwerkraft gerichtet ist.

Bekanntlich wirken die Pressungen von Flüssigkeiten stets senkrecht auf die Elemente der von ihnen gedrückten Flächen und sind der Größe nach gleich dem Gewichte der – vom Spiegel abwärts gemessen – auf dem Flächenelemente stehenden Flüssigkeitssäule. Bezeichnet also (vgl. die Figur) γ die spezifische Schwere der Flüssigkeit, z die Tiefe des Flächenelementes dF unter dem in der Ebene XY befindlich gedachten horizontalen Flüssigkeitsspiegel, so ist, wenn der letztere mit der Atmosphäre kommuniziert, die Größe dp der Pressung auf das Flächenelement: dp = γz ∙ dF; die Größe der entsprechenden Komponente dA in Richtung der Vertikalen wird, sofern dx ∙ dy die Projektion von dF auf die Ebene der XY bedeutet: dA = γz ∙ dx ∙ dy. Die Summe dieser Komponenten bezw. der Auftrieb A berechnet sich demgemäß zu:

A = ∫γz ∙ dx – dy = γ∫z ∙ dx ∙ dy,

wenn man es mit einer homogenen Flüssigkeit, also konstantem γ zu tun hat und die Integration über die ganze von der Flüssigkeit berührte Fläche ausdehnt. Der Wert des Integrales, d.h. die Größe des Auftriebs, ist – wie leicht einzusehen – gleich dem Gewicht des von dem eingetauchten Körper verdrängten Flüssigkeitsvolumens (Archimedisches Prinzip), denn z ∙ dx ∙ dy stellt den Inhalt einer Flüssigkeitssäule von der Grundfläche dx ∙ dy und der Höhe z dar, also das Integral den Inhalt aller dieser Säulen, der mit dem des verdrängten Volumens identisch ist. – Bei der Integration hat man dann, wenn, wie in unsrer Figur, die Körperoberfläche mit den Erzeugenden des sie umhüllenden vertikalen Zylinders eine Berührungskurve BB bildet, die nicht in die Ebene der XY fällt, zur Bildung der algebraischen Summe aller Flüssigkeitspressungen das Integral in zwei Teile zu trennen, deren Grenzen durch die Berührungskurve BB gebildet werden. Die oberhalb BB auftretenden Vertikalkomponenten der Flüssigkeitspressung sind gleichen, die unterhalb auftretenden entgegengesetzten Sinnes mit der Richtung der Schwerkraft. – Schwimmt ein Körper von dem Gewichte G in der ihn umgebenden Flüssigkeit, so muß notwendigerweise der Auftrieb A gleich dem Gewichte G sein, da sonst kein Gleichgewichtszustand – das Schwimmen ist ein solcher – bestehen könnte. – Das Gewicht G des eingetauchten Körpers greift in dem Schwerpunkte desselben an; sobald der in der Flüssigkeit schwimmende Körper in eine Ruhelage gelangt ist, muß also der Angriffspunkt der dem Gewichte entgegenwirkenden Wasserpressungen [1], [2] in einer Vertikalen liegen, die diesen Schwerpunkt enthält. Den Vertikalabstand z₁ dieses Angriffspunkts von der XY-Ebene findet man aus der Beziehung:

während der Schwerpunkt der von dem Körper verdrängten Flüssigkeit (der Deplacementsschwerpunkt) – da der Schwerpunkt jeder Flüssigkeitssäule von der Grundfläche dx∙ dy und der Höhe z in dem Abstand z/2 liegt – den Vertikalabstand z₀ unter der XY-Ebene hat:

Vorstehendes gilt selbstverständlich nur so lange, als keine Flüssigkeit in den Körper selbst eindringt. Ist der eingetauchte Körper porös, so wirkt das Gewicht des in die Poren eingedrungenen Wassers dem Auftrieb entgegen.

Literatur: [1] Hädike, H., Der Angriffspunkt des hydrostatischen Auftriebs, Zürich 1881 (mit Angaben der älteren Literatur). – [2] Lutschaunig, V., Definitionen und Grundsätze der Theorie des Gleichgewichts schwimmender Körper, Triest 1893.

Lueger.