Symmetrische Function unbestimmter Größen

[138] Symmetrische Function unbestimmter Größen. Jede Function (s.d.), welche immer dieselbe bleibt, wie man auch jene Größen unter einander umtauschen mag; z.B. a + b + c, ab + ac + bc, abc, a²b + ab² + a²c + ac² + b²c + bc², (– a + b + c)(a – b + c)(a + b – c) sind symmetrische Functionen der Größen a, b, c; eben so x^y + y^x, (x³ + y²)/(x² + y²) von x u. y. Dagegen sind a – b, (a – b)(b – c)(c – a) keine symmetrischen Functionen, weil sich mit Vertauschung der Buchstaben zwar nicht der absolute Werth, wohl aber das Vorzeichen ändert. Symmetrische Function von der Form a^αb^β + a^βb^α + a^αc^β + a^βc^α + b^αc^β + b^βc^α bezeichnet man kurz entweder mit ∫a^αb^β, od. nach Vandermonde mit (αβ). Die Formen ∫a^α, ∫a^αb^β, ∫a^αb^βc^γ etc., nennt man bezüglich unarische, binarische, ternarische etc., einförmige Functionen. Haben alle Glieder einen constanten Factor, so wird derselbe vor das Zeichen gesetzt, 2∫a²b² bedeutet 2a²b² + 2a²c² + 2b²c² für a, b, c als unbestimmte Größen. Die symmetrischen Functionen sind in der Lehre von den algebraischen Gleichungen, bei der Verwandlung u. Auflösung derselben, bei der Eliminirung, bei der Wegschaffung der Wurzelgrößen etc. von besonderer Wichtigkeit u. vereinfachen die Rechnung sehr, indem man mit Hülse der Combinationen (s.d.) alle Functionen ohne Weiteres entwickeln kann, wenn erst eine ihnen[138] symmetrische entwickelt ist. Einen Hauptgegenstand der Lehre von den symmetrischen Functionen macht die Zunickführung derselben mit mehrern Exponenten auf unarische aus. Diese mag blos durch ein Beispiel angedeutet werden. Es ist ∫a^α · ∫b^β = ∫a^{α + β}+ ∫a^αb^β, folglich ∫a^αb^β = ∫a^α · ∫b^β – ∫a^{α + β}, also die Function ∫a^αb^β auf lauter unarische zurückgeführt. Mit Zuziehung dieser Gleichung findet man eben so ∫a^αb^βc^γ = ∫a^α · ∫a^β · ∫a^γ – ∫a^{α + β} · ∫b^γ – ∫a^{α + γ} · ∫b^β – ∫a^{α + γ} · ∫b^α + 2∫a^{α + β + γ.} Das Gesetz dieser Zurückführung hat Waring in seinen Miscellan. analyt. u. Meditat. algebr. algebr. ganz allgemein angegeben, den Beweis dazu erst Paoli in seinem Supplemento agli elementi di Algebra, Pisa 1804, u. auf andere Weise Meyer Hirsch in seiner Sammlung von Aufgaben aus der Theorie der algebraischen Gleichungen, Berl. 1809; Posselis, De functionibus quibusdam symmetricis, Götting. 1818; De funct. symm. ejusque in analysi usu, Halle 1825.