[401] Symmetrische Funktionen, solche Funktionen der Wurzeln x1 x2 ... xn einer gegebenen Gleichung xn + p1 xn 1 + p2xn 2 + ... pn 1 x + pn = 0, die bei Vertauschung von irgend zweien der Wurzeln ihren Wert nicht ändern.
Die Koeffizienten der Gleichung sind (abgesehen vom Vorzeichen) symmetrische Elementarfunktionen der Wurzeln, d.h. solche symmetrische Funktionen, die in bezug auf jede einzelne Wurzel vom ersten Grad sind. Für n = 4 ist z.B.
Allgemein ist pr = (1)r Σ x1 x2 ... xr. Die Potenzsummen
lassen sich durch die Elementarfunktionen ausdrücken mittels der Newtonschen Formeln
Durch diese Rekursionsformeln ergeben sich die Potenzsummen als Funktionen der Koeffizienten und umgekehrt. Jede symmetrische Funktion φ der Wurzeln kann nur auf eine Art als ganze Funktion der Elementarfunktionen pi dargestellt werden, d.h.
kann geschrieben werden
In der ganzen Funktion rechts ist für jedes einzelne Glied
ρ1 + 2ρ2 + 3ρ3 + ... + n ρn = λ1 + λ2 + ... + λn
1.
also konstant; diese Größe heißt Gewicht der symmetrischen Funktion, während λ1 als Grad bezeichnet wird. Ist z.B. n = 4, so ist Σ x12 x2 x3 = p1 p3 p4 Grad 2 Gewicht 4;
Σ x13 x2 x3 = p12 p3 + p1 p4 + 2p2 p3 Grad 3, Gewicht 5.
Weil
sein muß, kann man in dem Ausdruck für φ die einzelnen Glieder dadurch bestimmen, daß man alle Werte von ρ1... ρn wählt, die den Gleichungen 1. und 2. genügen. Alsdann bestimmt man die Koeffizienten µ durch Einsetzen der Wurzeln von speziellen Gleichungen, deren Wurzeln bekannt sind; z.B. für φ = Σ x12 x22 x3 x4 x5 ergibt sich
also
φ = µ1 p7 + µ2 p1 p6 + µ3 p2 p5 + µ4 p3 p4
Die Gleichungen (x 1)5 = 0; (x 1)6 = 0; (x 1)7 = 0; (x 1)8 = 0, die sämtliche Wurzeln gleich 1 haben, ergeben durch Einsetzen
10 = 10µ3 50µ4; 60 = 6µ2 90µ3 300µ4; 210 = µ1 45µ2 441µ3 1125µ4; 560 = 8µ1 224µ2 1568µ3 320µ4.
Hieraus folgt
µ1 = 14; µ2 = 5; µ3 = 1; µ4 = 0; Σ x12 x22 x3 x4 x5 = 14p7 + 5p1 p6 p2 p5.
Die symmetrischen Wurzeln sind wichtig für die Theorie der Gleichungen.
Literatur: [1] Salmon, G., Vorlesungen über die Algebra der linearen Transformationen, deutsch von Fiedler, 2. Aufl., Leipzig 1877, Vorlesung 7. [2] Serret, Handbuch der höheren Algebra, deutsch von Wertheim, 2. Aufl., I, Leipzig 1878, 2. Teil, Kap. 12. [3] Faà di Bruno, Einleitung in die Theorie der binären Formen, deutsch von Walter, Leipzig 1881, 1. Abschn. Tafeln von symmetrischen Funktionen finden sich in [1] und [3].
Wölffing.
Brockhaus-1911: Zyklometrische Funktionen
Lueger-1904: Hyperelliptische Integrale und Funktionen · Funktionen · Jacobische Funktionen · Transzendente Funktionen · Lamésche Funktionen · Bernoullische Zahlen und Funktionen · Abelsche Integrale und Abelsche Funktionen · Besselsche Funktionen · Elliptische Integrale und Funktionen · Doppeltperiodische Funktionen
Meyers-1905: Zyklometrische Funktionen · Invérse Funktionen · Abelsche Funktionen
Pierer-1857: Symmetrische Function unbestimmter Größen · Logarithmische Funktionen
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