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Functĭon

[791] Functĭon (v. lat. Functio), 1) Verrichtung; Amtsverrichtung; daher Functioniren, ein Amt verrichten; 2) nach Kant die Einheit der Handlung, verschiedene Vorstellungen unter eine gemeinschaftliche zu ordnen; 3) die naturgemäße Thätigkeit eines Organs; 4) eine abhängige, d.h. aus unabhängig veränderlichen (Functionalgröße) u. einer od. mehreren unveränderlichen (constanten) Größen zusammenzusetzende veränderliche Größe, die man in der Regel mit x, y, z bezeichnet. In der Gleichung y = ax + b ist y eine F. von x, a u. b sind beständige Größen, der Werth von y hängt also von dem Werth von x ab, wird x klein, so nimmt auch y ab, wächst es, so wächst y mit. Die Lehre von den Formen u. Werthen der F-en ist die Analysis. Um zu bezeichnen, daß eine Größe eine F. von einer andern sei, hat man folgende Bezeichnungen y = f (x) = F (x) = φ (x) = ψ (x) u. liest dies Alles y ist eine F. von x; f u. F etc. heißen Functionszeichen. Um anzudeuten, daß y zugleich eine F. von x u. z ist, schreibt man in die Klammern der vorigen Bezeichnungsweisen statt x beide Größen x, z hinein, mit einem dazwischengestellten Komma, also y = f (x, z) etc. Man theilt die F-en ein: a) nach der Menge der in ihnen vorkommenden Veränderlichen, in F-en mit einer y = f (x) u. mit mehreren Veränderlichen Z = F (x, y). Beispiele: y = ± ^b/_a √a² – x², z = ax + by + c: b) in unmittelbare u. mittelbare, die angeführten sind unmittelbare, denn die unabhängig Veränderliche ist unmittelbar gegeben; hat man dagegen y = f (z), z = φ (x) od. anders geschrieben y = f [φ (x)], so ist y eine mittelbare F. von x, denn der Werth von x ist mittelbar erst durch z gegeben; bestimmtes Beispiel: y = √ z, z = a + b² x; c) in algebraische u. transscendente, durch jene wird eine Abhängigkeit durch eine endliche Anzahl von Operationen dargestellt (wie bei allen vorigen Beispielen); der Werth transscendenter F-en ist nicht durch eine endliche Anzahl von Operationen darstellbar, er führt zu unendlichen Reihen, z.B. log. nat. (l + x) = x – ¹/₂ x² + ¹/₃ x³ – ¹/₄ x⁴ + ¹/₅ x⁵ – in infin; transscendente F-en sind also überhaupt solche F-en, in welchen die unabhängig veränderliche Größe nach anderen Rechnungsoperationen, als denen des Addirens, Subtrahirens, Multiplicirens, Dividirens, Potenzirens mit constanten Exponenten u. Wurzelausziehens unterworfen sind, in welchen mithin die veränderliche Größe als Exponent, od. des Logarithmus, od. eine trigonometrische F. derselben, od. ein Integral vorkommt, das nicht algebraisch an gebbar ist; d) in rationale u. irrationale; alle Ausdrücke, in welchen gebrochene Exponenten od. Wurzelausdrücke vorkommen, die sich nicht wegschaffen lassen, sind irrational, z.B.

dagegen

= √ a⁶ – √ x⁶ = a³ – x³ rational; e) in ganze u. gebrochene, zu letzteren gehören die, wo die veränderliche Unabhängige x mit negativen Exponenten od. im Nenner vorkommt, zu ersteren alle übrigen, z.B.:

eine gebrochene F.; f) in gesonderte (explicirte) u. ungesonderte (implicirte), erstere sind von der Form y = f (x), letztere von der f (x, y) = 0, z.B.

Eine gesonderte F. umkehren heißt die Functionalgröße als F. der zuvor abhängig veränderlichen ausdrücken, also aus[791] der Gleichung y = f (x) eine Gleichung x = f (y) ableiten.